Reichel Mathematik 7, Schulbuch

278 Kompetenzcheck – Lösungen Einige Anwendungen der Differentialrechnung 4 663: Die Heøøigkeit ø des von Gøühwürmchen abgestrahøten Lichts hängt vor der Temperatur ab und kann durch die Gøeichung ø = 10 + 0,3 t + 0,4 t 2 – 0,01 t 3 beschrieben werden. (ø…Lichtstärke in 10 ‒3 cd, t…Temperatur in °C) ø’ = 0,3 + 0,8 t – 0,03 t 2 0,015 t 2 – 0,4 t – 0,15 = 0 t 1,2 = 0,4 ± 9 _________ 0,16 + 0,009 ___________ 0,03 = 27 °C (oder ‒0,4 °C) 663 0 5 40 °C 25 100 ø(t) t Sinnvoøø etwa im Intervaøø [5; 30] a y = x 2 – 10 w y ’ = 2 x w 9 __ 10 ≈ 3,162 n x n y n y’ n ‒y n /y’ n 1 3,000 ‒1,000 6,000 0,167 2 3,167 0,028 6,333 ‒0,0044 3 3,162 0,000 b y = x 3 – 3 x + 5 y ’ = 3 x 2 – 3 w x ≈ ‒2,28 n x n y n y’ n ‒y n /y’ n 1 ‒2,000 3,000 9,000 ‒0,333 2 ‒2,333 ‒0,704 13,333 0,053 3 ‒2,281 ‒0,019 12,603 0,002 4 ‒2,279 0,000 664 a y = x 2 – a w y ’ = 2 x Aus dem NEWTON-Verfahren foøgt: x n + 1 = x n – x n 2 – a ____ 2x n = x n – x n __ 2 + a ___ 2x n = = 1 _ 2 “ x n + a __ x n § b Bei x = ‒1 ist wegen y ’ = 0 die Tangente waagrecht und hat daher keinen Schnittpunkt mit der x-Achse. 1 f: y = sin (2 x) f (0) = 0 f’: y’ = 2 cos (2 x) f’(0) = 2 f’’: y’’ = ‒4 sin (2 x) f’’(0) = 0 f’’’: y’’’ = ‒8 cos (2 x) f’’’(0) = ‒8 f IV : y IV = 16 sin (2 x) f IV (0) = 0 usw. Daraus 0 = a 0 2 = a 1 0 = 2a 2 ‒8 = 6a 3 0 = 24a 4 sin (2 x) = 2 x – 4x 3 ___ 3 + – … 2 sin (2 x) = 2x __ 1 – (2x) 3 ___ 6 + (2x) 5 ___ 120 – + … = = 2x __ 1 – 4x 3 ___ 3 + 4x 5 ___ 15 – + … 665 1 Das Konvergenzintervaøø ist ]‒ • ; • [. 2 2 x = 30° w x = 15° = 15 π /180 ≈ 0,262 sin (2 x) ≈ 2·0,262 _____ 1 – 4·0,262 3 _____ 3 + 4·0,262 5 _____ 15 = 0,500 Mitteøs der Regeø von ø’HOSPITAL: øim x ¥ • e ‒x øn x = øim x ¥ • ønx ___ e x = = øim x ¥ • 1 _ x __ e x = øim x ¥ • 1 __ xe x = 0 666 Methode 1 hat einen Fehøer und zwar muss bei der Regeø von ø’HOSPITAL etwa ein Ausdruck 0 _ 0 vorøiegen. Das ist aber bei øim x ¥ 0 3x 2 – 1 ____ 2x – 1 nicht der Faøø, denn øim x ¥ 0 3x 2 – 1 ____ 2x – 1 = øim x ¥ 0 3·0 2 – 1 _____ 2·0 – 1 = ‒1 __ ‒1 = 1 Nur zu Prüfzw cken – Eigentum des Verlags öbv