Reichel Mathematik 7, Schulbuch

279 Kompetenzcheck – Lösungen Lineare analytische Geometrie 5 938‒943: Gegeben waren der Kreis k: x 2 – 14 x + y 2 –10 y – 51 = 0, die Gerade g: 3 x + 4 y = ‒9 und der Punkt T (14,5 1 15). (x – 7) 2 + (y – 5) 2 = 125 M(7 1 5), r = 5 9 _ 5 938 Die Koeffizienten von x 2 und y 2 müssen gøeich sein (einschøießøich des Vorzeichens). g: y = ‒3/4 x – 9/4 (x – 7) 2 + “ ‒ 3 _ 4 x – 9 _ 4 – 5 § 2 = 125 (x 2 – 2 x – 15) = 0 x 1 = ‒3, x 2 = 5 S 1 (‒3 1 0), S 2 (5 1 ‒6) 939 Bestimme den Abstand a der Geraden vom Mitteøpunkt des Kreises. Ist † a † < r, so schneidet die Gerade, ist † a † = r, so berührt sie und bei † a † > r geht sie vorbei. (S 1 – M)(X – S 1 ) = 0 “ ‒3 ‒ 7 0 – 5 § “ x + 3 y § = 0 ‒10 x – 5 y = 30 t 1 : 2 x + y = ‒6 und anaøog t 2 : 2 x + 11 y = ‒56 10 y = ‒50 S “ ‒ 1 _ 2 † ‒5 § 940 1. Normaøvektorform 2. Spaøtform 3. Hauptform und ermitteøn der Tangenten- steigung durch Differenzieren 4. Hauptform und Berührbedingung (k·x M – y M + d) 2 = r 2 (k 2 + 1) “ ‒ 3 _ 4 ·7 – 5 + d § 2 = 125 “ 9 __ 16 + 1 § d 1,2 = 1 _ 4 (41 ± 25 9 _ 5) ≈ 24,225 bzw. ‒3,725 d 1 ≈ 24,225 d 2 ≈ ‒3,725 g 1 : y = ‒3/4x + 24,225 g 2 : y = ‒3/4x – 3,725 941 1. Geraden mit Steigung k im Abstand r vom Mitteøpunkt M des Kreises mit Hiøfe der HESSE’schen Abstandsformeø, um d zu berechnen 2. Normaøe auf g durch M schneidet aus k die Berührpunkte a Hauptform: 15 = 14,5 k + d d = 15 – 14,5 k (k·7 – 5 + 15 – 14,5 k) 2 = 125 (k 2 + 1) 6,25 (11 k 2 + 24 k + 4) = 0 k 1 = ‒2 k 2 = ‒2/11 _ t 1 : y = ‒2 x + 44 __ t 2 : y = ‒2/11 x + 194/11 b tan φ = k 2 – k 1 _____ 1 + k 1 k 2 = 4 _ 3 w φ = 53,1301° bzw. 126,8699° 942 a 1. Thaøeskreis durch T und M oder 2. Kreis mit Poøarer zu T schneiden oder 3. Anwenden des pythagoreischen Lehrsatzes b z = ___ MT = 9 ___________ (14,5 – 7) 2 + (15 – 5) 2 = 9 _____ 156,25 sin ( φ /2) = r __ ___ MT = 5 9 _ 5 _____ 9 ____ 156,25 š 63,4349° φ = 126,8699° A = e·f __ 2 e = ___ MS = 9 _______ 8,5 2 + 10 2 ≈ 13,124 f = ___ S 1 S 2 = 9 _____ 8 2 + 6 2 = 10 A ≈ 65,62 943 1. Dreiecksføäche aus 3 Punkten 2. Rechtwinkøiges Dreieck MS 1 S mit den Katheten ___ MS 1 = r und ___ S 1 S 3. g ist Poøare bez. des Kreises k, S ist der Poø, rechtwinkøiges Dreieck mit Hypotenuse ___ MS und Kathete r. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv