Reichel Mathematik 7, Schulbuch

29 1.6 Der Fundamentalsatz der Algebra 1 Der Fundamentalsatz der Algebra 1. Über die Existenz von Lösungsformeln Bescheid wissen Viele Probleme in den Wissenschaften und der Technik führen in ihrer mathematischen Formulierung letztendlich auf algebraische Gleichungen, die es zu lösen gilt. Gleichungen ersten Grades, so genannte lineare Gleichungen, bereiten uns keinerlei Schwierigkeiten, desgleichen nicht Gleichungen zweiten Grades, so genannte quadratische Gleichungen: wir kennen ja Lösungsformeln für diese Gleichungen. Da bei vielen Problemen aber auch Gleichungen höheren Grades auftreten, liegt es nahe zu fragen: Gibt es auch Lösungsformeln für Gleichungen dritten Grades (so genannte kubische Gleichungen ), für Glei- chungen vierten oder fünften Grades? Oder kann man sogar für algebraische Gleichungen beliebigen Grades n Lösungsformeln angeben? Um die Antwort vorwegzunehmen: Für n = 3 und n = 4 gibt es solche Lösungsformeln, wo nur die so genannten algebraischen Rechenoperationen + , – , · , / und 9 __ auftreten (dürfen). Für n º 5 gibt es sie – abgesehen von gewissen Spezialfällen (wie etwa symmetrischen Gleichungen etc. ) (im Allgemei- nen!) nicht. Dies wurde in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts vom norwegischen Mathematiker N. H. ABEL und dem französischen Mathematiker E. GALOIS bewiesen. Diese Probleme gehörten übri- gens – obwohl sie so einfach zu formulieren sind – zu den schwierigsten der gesamten Mathematik. Evariste GALOIS (1811–1832) Niels Henrik ABEL (1802–1829) Der Mangel an solchen „exakten“ Lösungsformeln, ja die Frage nach den „exakten“ Lösungen selbst ist heute nicht mehr so wichtig wie früher, da man Näherungsformeln bzw. Näherungsverfahren kennt (vgl. Buch 6. Kl. Kap. 7), die es (schon auf vergleichsweise billigen Taschenrechnern) gestatten, Lösun- gen sehr rasch mit der für praktische Zwecke ausreichenden oder sogar mit beliebiger Genauigkeit zu approximieren. Aber wer garantiert, dass überhaupt Lösungen existieren, und wenn ja, wie viele es sind? So ist es trotz Näherungsformeln und trotz Computern sehr wichtig, sich mit der Theorie der alge- braischen Gleichungen zu beschäftigen. Im Folgenden stellen wir einige zentrale Begriffe und Sätze zu- sammen. 2. Den Fundamentalsatz der Algebra kennen Nun betrachten wir in Verallgemeinerung von Kap. 1.3 algebraische Gleichungen bzw. Polynome n-ten Grades, deren Koeffizienten a i nun auch echt-komplex sein dürfen. An den Überlegungen zum Abspal- ten von Lösungen ändert sich dabei – Begründe! – nichts, sofern überhaupt Lösungen existieren (was ja nicht selbstverständlich ist). Dies garantiert der Satz Fundamentaøsatz der Aøgebra: Im Zahøenbereich C der kompøexen Zahøen besitzt jedes nichtkonstante Poøynom p (x) mindestens eine Nuøøsteøøe. Dh.: Über C ist jede Gøeichung p (x) = 0 (mit p (x) nicht konstant) øösbar. 1.6 S 35 K 1.3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv