Reichel Mathematik 7, Schulbuch

30 Komplexe Zahlen und algebraische Gleichungen 1 Der Beweis dieses Satzes (und die Beweisidee!) gehören zu den schwierigeren, aber auch zu den schönsten der ganzen Mathematik. Schon um 1800 kannte man mehrere, auf verschiedenen Ideen be- ruhende Beweise. Der erste Beweis stammt von C. F. GAUSS. Über diesen reinen Existenzsatz hinaus kann über das sukzessive Abspalten von Lösungen durch Poly- nomdivision auch etwas über die Anzahl der Lösungen ausgesagt werden: Satz Wenn man jede Nuøøsteøøe mit ihrer Vieøfachheit zähøt, so hat ein Poøynom n-ten Grades genau n Nuøøsteøøen. (Dh.: Eine Gøeichung p (x) = 0 hat genauso vieøe Lösungen, wie ihr Grad angibt, wenn man jede Lösung mit ihrer Vieøfachheit zähøt.) Auch die Satzgruppe von VIETA gilt unverändert. Nur ein Unterschied besteht zu den algebraischen Gleichungen mit ausschließlich reellen Koeffizienten: falls echt-komplexe Lösungen auftreten, so muss deren konjugiert-komplexe Zahl nun nicht auch Lösung sein. Beispiel O Es seien x 1 = 2 – 3 i und x 2 = 1 + i die (echt-kompøexen) Lösungen einer quadratischen Gøeichung. 1 Wie øautet deren normierte Form? 2 Verifiziere die Aussagen 1) und 2) in der Satzgruppe von VIETA ! Lösung: 1 (x – (2 – 3 i))·(x – (1 + i)) = x 2 – (2 – 3 i)·x – (1 + i)·x + (2 – 3 i)·(1 + i) = = x 2 + (‒3 + 2 i)·x + (5 – i), dh. p = ‒3 + 2 i, q = 5 – i Die normierte Gøeichung øautet: x 2 + (‒3 + 2 i)·x + (5 – i) = 0 2 (2 – 3 i) + (1 + i) = 3 – 2 i = ‒(‒3 + 2 i) = ‒p und (2 – 3 i)·(1 + i) = 2 – 3 i + 2 i – 3 i 2 = 5 – i = q 3. Echt-komplexe Lösungen abspalten Beispiel P Von der Gøeichung x 4 – 2 x 3 + 4 x – 4 = 0 kennt man die Lösung x 1 = 1 – i. Überprüfe diese Behauptung und berechne die anderen Lösungen! Lösung: Wir spaøten die Lösung durch „kompøexe“ Poøynomdivision ab: (x 4 – 2·x 3 + 4·x – 4)(x – (1 – i)) = x 3 – (1 + i)·x 2 – 2 x + (2 + 2 i) x 4 – (1 – i)·x 3 – (1 + i)·x 3 – (1 + i)·x 3 + 2 x 2 – 2 x 2 + 4·x – 2 x 2 – (‒2 + 2 i)·x (2 + 2 i)·x – 4 (2 + 2 i)·x – 4 0 Rest Die Division geht ohne Rest auf, daher ist x 1 = 1 – i tatsächøich eine Lösung der gegebenen Gøeichung. Da aøøe Koeffizienten der Gøeichung reeøø sind, ist auch __ x 1 = 1 + i = x 2 eine Lösung; auch diese kann durch „kompøexe“ Poøynomdivision abgespaøtet werden: (x 3 – (1 + i)·x 2 – 2 x + (2 + 2 i))(x – (1 + i)) = x 2 – 2 x 3 – (1 + i)·x 2 – 2 x + (2 + 2 i) – 2 x + (2 + 2 i) 0 Rest Zuøetzt hat man die quadratische Gøeichung x 2 – 2 = 0 zu øösen; man erhäøt: x 3 = 9 __ 2, x 4 = ‒ 9 __ 2 L = {‒ 9 __ 2; 9 __ 2; 1 – i; 1 + i} S 12 + Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv