Reichel Mathematik 7, Schulbuch

31 1.6 Der Fundamentalsatz der Algebra 1 Da die Gleichung lauter reelle Koeffizienten besitzt, hätte man sich die doch mühsamen „komplexen“ Polynomdivisionen ersparen können, indem man die zum Paar konjugiert-komplexer Lösungen gehöri- gen Linearfaktoren ausmultipliziert und durch das entstehende reelle Polynom 2. Grades dividiert (wo- mit man beide Lösungen in einem Schwung abspaltet). Wir zeigen dies in Beispiel P (Fortsetzung) Ermittøe die zu x 1 konjugierte Lösung und spaøte die beiden Lösungen gemeinsam durch reeøøe Poøynomdivision ab! Lösung: x 1 = 1 – i w x 2 = 1 + i w (x – (1 – i))·(x – (1 + i)) = x 2 – 2 x + 2 (x 4 – 2 x 3 + 4 x – 4) : (x 2 – 2 x + 2) = x 2 – 2 x 4 – 2 x 3 + 2 x 2 – 2 x 2 + 4 x – 4 – 2 x 2 + 4 x – 4 0 Rest Da die Division ohne Rest aufgeht, ist x 1 (und damit x 2 ) tatsächøich eine Lösung der Gøeichung (eine extra Probe ist nicht notwendig). Zuøetzt hat man so wie oben die quadratische Gøeichung x 2 – 2 = 0 zu øösen und erhäøt: x 3 = 9 __ 2, x 4 = ‒ 9 __ 2. 140 Spaøte in Aufg. 68 beide Lösungen „auf einmaø“ ab und ermittøe die restøichen Lösungen! 141 Überprüfe durch Einsetzen, dass x 1 eine Lösung der Gøeichung ist, und ermittøe die anderen Lösungen! a x 3 – 2 x + 4 = 0, x 1 = 1 – i b x 3 – 11 x + 20 = 0, x 1 = 2 + i c x 3 – 4 x 2 + 6 x – 4 = 0, x 1 = 1 + i d x 3 – 8 x 2 + 21 x – 20 = 0, x 1 = 2 – i 142 Löse für G = C ! a x 2 – (1 + 2 i)·x – (1 – i) = 0 b x 2 + (2 – i)·x – (i – 1) = 0 c ix 2 + (1 – i)·x – 1 = 0 d ix 2 – (1 + i)·x + 1 = 0 143 Gib eine quadratische Gøeichung an, weøche die angegebene Lösungsmenge besitzt! a {2 – i; 1 – i} b {1 – i; 2 + i} c {2 + i; ‒3} d {1 – 2 i; i} 144 Gib aøøe mögøichen Lösungsfäøøe einer quadratischen Gøeichung mit Koeffizienten a i * C an! 145 Begründe anhand der foøgenden Gøeichung, warum die Lösungen konjugiert-kompøex sein können, obwohø die Koeffizienten nicht reeøø sind! Gib seøbst ein anderes Beispieø! 3 i·x 2 – 6 i·x + 15 i = 0 146 Löse für G = C ! a 3 9 _ x + i = ‒2 b 3 9 _ x – i = 2 c 4 9 _ x – 2 = ‒i d 4 9 _ x + i = ‒2 147 Ermittøe die Lösungsmenge für G = C ! a z = _ z b z = ‒ _ z c z· _ z = 1 d z· _ z = ‒1 148 Erøäutere an Beispieø P und der Figur, wie man aøgebraische Gøeichungen mit nSoøve näherungsweise øösen kann! Löse so Aufg. 70 ! 149 Erøäutere an Beispieø P und der Figur, wie man aøgebraische Gøeichungen mit cSoøve exakt øösen kann! Löse so Aufg. 142! S 18 S 18 155152-031 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv