Reichel Mathematik 7, Schulbuch

48 Differentialrechnung 2 Die obigen Grundbeziehungen sind das Bindeglied zwischen dem Rechnen mit Differenzen, der so ge- nannten Differenzenrechnung (auf die wir erst in der 8. Klasse genauer eingehen werden) und dem Rechnen mit Differentialen – daher der Name Differentialrechnung . Die Bedeutung der Differentialrech- nung liegt im Wesentlichen darin, dass sich das Differential dy vielfach einfacher berechnen lässt als Δ y , und auch darin, dass die lineare Funktion g sehr viel einfacher zu handhaben ist als die Funktion f . 3. Die Tangente als die bestmögliche lineare Approximation kennen In Punkt 1 haben wir – gestützt auf die oft trügerische Anschauung – festgestellt, dass die Tangente die Funktion f bei x 0 „besser“ als jede andere Gerade ( = Sekante) approximiert. Was aber heißt „besser“? Ersetzt man f bei x 0 durch die Gerade g: y = f (x 0 ) + k· Δ x , so be- geht man einen „Fehler“, der für ein festes f und festes x 0 nur von Δ x und k abhängig ist. Diesen „Fehler“ legt man üblicherweise auf zwei Arten fest: Absoluter Fehler = † f (x 0 + Δ x) – g (x 0 + Δ x) † Relativer Fehler = † f (x 0 + Δ x) – g (x 0 + Δ x) † _____________ ∆x Der absolute Fehler strebt für Δ x ¥ 0 gegen 0 , unabhängig davon, wie groß k gewählt wurde: øim Δ x ¥ 0 † f (x 0 + Δ x) – g (x 0 + Δ x) † = † f (x 0 ) – g (x 0 ) † = 0 Insofern approximiert die Tangente t P die Funktion f bei x 0 nicht „besser“ als jede andere Gerade g durch P . Anders beim relativen Fehler: øim Δ x ¥ 0 f (x 0 + Δ x) – g (x 0 + Δ x) ____________ Δ x = øim Δ x ¥ 0 f (x 0 + Δ x) – (f (x 0 ) + k· Δ x) ______________ Δ x = = øim Δ x ¥ 0 f (x 0 + Δ x) – f (x 0 ) – k· Δ x _____________ Δ x = øim Δ x ¥ 0 “ f (x 0 + Δ x) – f (x 0 ) __________ Δ x – k § = f’(x 0 ) – k Man sieht: Der relative Fehler (f’(x 0 ) – k) nimmt den denkbar kleinsten Wert – nämlich 0 – genau dann an, wenn k = f’(x 0 ) ist, was gemäß Punkt 1 die Steigung der Tangente an f bei x 0 ist. Im Sinn dieser Mini- malitätseigenschaft ist die Tangente t P unter allen Geraden durch P die f bei x 0 „am besten“ approximie- rende Gerade. | 175 Erkøäre den foøgenden Satz (an einer Figur) und formuøiere ihn exakt in symboøischer Schreibweise: Der Differentiaøquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten. | 176 Für den Differenzenquotient sind verschiedenste Schreibweisen gebräuchøich. Verdeutøiche an einer Zeichnung anaøog zu Fig. 2.4b, weøche Bedeutung die Symboøe haben! a Δ y __ Δ x = y – y 0 ____ x – x 0 b Δ y __ Δ x = f(x + h) – f(x) ________ h 177 Der in Fig. 2.4a eingezeichnete Radius steht zur Kreistangente normaø. Ihm entpricht in der Veraøøgemeinerung auf beøiebige Kurven die so genannte Kurvennormaøe . Wie hängen die Steigung der Tangente und die der Kurvennormaøen zusammen? 1 Veranschauøiche an einer Skizze und 2 gib eine (Umrechnungs-)Formeø an! 178 Beim Einzeichnen von Tangenten und Kurvennormaøen „nach Augenmaß“ war früher das so genannte Spiegeøøineaø hiøfreich. Erøäutere anhand der Figur , wie und warum das hiøft! Fig. 2.5d x f + x Ú Ú x 0 x 0 y x 0 P g Absoluter Fehler t P F 2.5d F 2.6 Fig. 2.6 M Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv