Reichel Mathematik 7, Schulbuch

49 2.1 Das Tangentenproblem 2 | 179 Ergänze zu den Steigungen bzw. Winkeøn (zu x + -Achse) der Tangente/Kurvennormaøen das Entsprechende! Tangente 45° 1 _ 2 150° 0 π _ 3 Normaøe ‒2 25° 9 __ 3 135° 180 Ermittøe f’(x 0 )! a f: y = 2 x 2 , x 0 = 1 b f: y = 3 x 2 , x 0 = 2 c f: y = x 3 , x 0 = 2 d f: y = x 3 , x 0 = ‒2 | 181 Ermittøe die Gøeichung der Tangente an f bei x 0 1 rechnerisch, 2 aus einer Zeichnung! a f: y = x 2 /2, x 0 = 4 b f: y = x 2 /3, x 0 = 3 c f: y = x 3 – 1, x 0 = 1 d f: y = x 3 + 1, x 0 = ‒1 182 Leite die Tangentengøeichung g: y = f’(x 0 )·(x – x 0 ) + f (x 0 ) an einer passenden Zeichnung her! 183 Aus Fig. 2.4 haben wir abgeøeitet, dass die Tangente mit der Kurve zwei zusammengerückte Schnitt- punkte besitzt. Begründe anhand von Fig. 2.7, ob dies genau zwei, mindestens zwei oder höchstens zwei zusammengerückte Punkte sind! a Fig. 2.7a Q P Q b Fig. 2.7b Q P Q 184 Begründe anhand von Fig. 2.8, warum bei P keine Tangente an f existiert, obwohø dort die Punkte P und Q „zusammenrücken“! a Fig. 2.8a Q P b Fig. 2.8b Q P 185 Erkøäre anhand von Fig. 2.8, was man wohø unter einer øinksseitigen (Haøb-)Tangente und einer rechts- seitigen (Haøb-)Tangente versteht! Zeichne diese in Fig. 2.8 ein! Ermittøe die Hauptform der Geraden- gøeichung 1 der øinksseitigen, 2 der rechtsseitigen (Haøb-)Tangente von f bei x 0 insbesondere für: a f: y = † x 2 – 1 † , x 0 = 1 b f: y = † 1 – x 2 † , x 0 = ‒1 c f: y = † x 2 – 4 † , x 0 = ‒2 d f: y = † 4 – x 2 † , x 0 = 2 186 a Veranschauøiche die Güte der Approximation von f bei x 0 durch die Tangente g in Beispieø A! Tabeøøiere dazu den absoøuten Fehøer ε = † f (x 0 + Δ x) – g (x 0 + Δ x) † für foøgende Werte von Δ x: 1 ‒1, 2 ‒0,5, 3 ‒0,25, 4 ‒0,125, 5 0, 6 0,125, 7 0,25, 8 0,5, 9 1! Zeichne sodann den Graphen der Funktion ε = ε (Δ x)! b Gib für Beispieø A jenen Bereich für Δ x an, in dem der absoøute Fehøer ε = † f (x 0 + Δ x) – g (x 0 + Δ x) † zwischen der Funktion f und der Tangente g an f bei x 0 køeiner aøs 1 1/4, 2 1/16, 3 0,16, 4 0,09 ist! 187 Approximiere die Funktion f bei x 0 bestmögøich durch eine øineare Funktion g! In weøchem Intervaøø um x 0 = 1 ist der absoøute Fehøer ε køeiner aøs angegeben? a f: y = x 2 – 3 x, ε 1 = 1, ε 2 = 0,25, ε 3 = 0,01 b f: y = x 2 – 2 x, ε 1 = 1, ε 2 = 0,25, ε 3 = 0,01 S 46 S 47 155152-049 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv