Reichel Mathematik 7, Schulbuch

52 Differentialrechnung 2 Beispiel B Der Start einer Rakete sei durch das Zeit-Weg-Gesetz f: s = 5 · t 2 beschrieben. a Berechne, weøchen Weg die Rakete nach 1 2, 2 3, 3 4, 4 5 Sekunden zurückgeøegt hat! b Berechne die mittøere Geschwindigkeit im Zeitintervaøø 1 [2; 5], 2 [2; 4], 3 [2; 3]! c Berechne die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t 0 = 2! d Veranschauøiche die Situation in einem Zeit-Weg-Diagramm! Lösung: a 1 s (2) = 5·2 2 = 20 2 s (3) = 5·3 2 = 45 3 s (4) = 5·4 2 = 80 4 s (5) = 5·5 2 = 125 b 1 Δ s = 125 – 20 = 105, Δ t = 3 w Δ s __ Δ t = 35 m/s 2 Δ s = 80 – 20 = 60, Δ t = 2 w Δ s __ Δ t = 30 m/s 3 Δ s = 45 – 20 = 25, Δ t = 1 w Δ s __ Δ t = 25 m/s c f’(2) = øim Δ t ¥ 0 f (2 + Δ t) – f (2) _________ Δ t = = øim Δ t ¥ 0 5 · (2 + Δ t) 2 – 5 · 2 2 __________ Δ t = = øim Δ t ¥ 0 “ 5· (2 2 + 4 · Δ t + ( Δ t) 2 ) – 2 2 _____________ Δ t § = 5· øim Δ t ¥ 0 4 · Δ t + ( Δ t) 2 _______ Δ t = 5· øim Δ t ¥ 0 (4 + Δ t) = 5·(4 + 0) = 20 3. Eine ungleichförmige Bewegung durch eine gleichförmige approximieren Wirken ab dem Zeitpunkt t 0 auf einen sich bewegenden Körper keinerlei Kräfte ein, so fliegt er ab dem Zeitpunkt t 0 mit der zum Zeitpunkt t 0 geltenden Geschwindigkeit gleichförmig weiter. Diese gleichförmige Bewegung ist eindeutig bestimmt und bildet sich daher im Zeit-Weg-Diagramm auf eine eindeutig bestimmte Ge- rade ab (genauer: auf die in der Figur blau eingezeichnete Halb- Gerade). Diese Gerade ist natürlich die Tangente t P an den Gra- phen von f im Punkt P (t 0 1 f (t 0 )) ; die Tangentensteigung ist die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t 0 . Insofern approxi- miert diese gleichförmige Bewegung die ursprüngliche Bewegung bei t 0 im Sinn von Kap. 2.1.3 bestmöglich! Beispiel B (Fortsetzung) Nach 2 Sekunden Føug versagen die Raketenmotoren. Würden auf die Rakete keine Kräfte (Gravitation, Luftreibung) einwirken, so würde sie gøeichförmig weiterføiegen. Beschreibe diese gøeichförmige Bewegung durch ein Zeit-Weg-Gesetz! Lösung: Wir haben bereits berechnet: f’(2) = 20 Außerdem muss t P durch den Punkt P (2 1 f (2)), aøso P (2 1 20) gehen: t P : s = k · t + s 0 P * t P : 20 = 20 · 2 + s 0 w s 0 = ‒20 w s = 20t – 20 Bemerkung: Beachte, dass in Beispiel B und seiner Fortsetzung stets vom Zeit-Weg-Gesetz die Rede ist. Die Kurven stellen daher NICHT die (im R 3 verlaufende, durch Erdrotation, Luftbewegungen usw. kom- pliziert gekrümmte) Bahnkurve der Rakete dar! Auch die in Fig. 2.11 dargestellte blaue (Halb-)Gerade stellt NICHT die Bahnkurve selbst dar (obwohl die Bahnkurve einer gleichförmigen Bewegung eine Ge- rade ist), sondern die Abhängigkeit der Weglänge von der Zeit, also wie viel Weg in welcher Zeit zu- rückgelegt wird! Begründe (vgø. nochmaøs Fig. 2.9a und b)! 0 t 100 s 1 20 25 30 35 Steigungsdreiecke liefern die mittlere bzw. die Geschwindigkeit momentane 1 5 Fig. 2.11 0 s t P F 2.11 155152-052 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv