Reichel Mathematik 7, Schulbuch

53 2.2 Das Problem der Momentangeschwindigkeit 2 4. Das Konzept der Differentialrechnung an ihren beiden historischen Wurzeln darstellen, vergleichen und verallgemeinern Mit der obigen Feststellung „Steigung š Momentangeschwindigkeit“ ist die in der Vorschau angekün- digte Analogie des Tangentenproblems und des Problems der Momentangeschwindigkeit bestätigt: Mittlere Geschwindigkeit Momentangeschwindigkeit im Intervall [t 0 ; t 0 + Δ t] zum Zeitpunkt t 0 Δ s __ Δ t = s (t 0 + Δ t) – s (t 0 ) _________ Δ t ds __ dt = øim Δ t ¥ 0 Δ s __ Δ t = øim Δ t ¥ 0 s (t 0 + Δ t) – s (t 0 ) _________ Δ t Sekantensteigung Tangentensteigung im Intervall [x 0 ; x 0 + Δ x] an der Stelle x 0 Δ y __ Δ x = f (x 0 + Δ x) – f (x 0 ) __________ Δ x dy __ dx = øim Δ x ¥ 0 Δ y __ Δ x = øim Δ x ¥ 0 f (x 0 + Δ x) – f (x 0 ) __________ Δ x Man sieht: Vom Standpunkt der Mathematik handelt es sich um dasselbe Problem. Zwecks Loslösung von der konkreten (geometrischen oder physikalischen) Bedeutung der Funktion f verwendet man in der Mathematik daher die Begriffe: Mittlere Änderungsrate bzw. Momentane Änderungsrate bzw. Differenzenquotient Differentialquotient im Intervall [x 0 ; x 0 + Δ x] bei x 0 Δ y __ Δ x = f (x 0 + Δ x) – f (x 0 ) __________ Δ x dy __ dx = øim Δ x ¥ 0 Δ y __ Δ x = øim Δ x ¥ 0 f (x 0 + Δ x) – f (x 0 ) __________ Δ x Erst in den konkreten Anwendungen gebraucht man dann Begriffe wie „Momentangeschwindigkeit“ usw. Gib weitere soøche Begriffe aus dem „Aøøtag“ an! || 188 Fig. 2.9b zeigte das Zeit-Weg-Diagramm eines vier Sekunden dauernden Pfeiøføugs. 1 Woran erkennt man, dass es sich um eine ungøeichförmige Bewegung handeøt? 2 Lies aus der Figur ab, weøche Weg- øänge innerhaøb der ersten, zweiten, dritten und vierten Sekunde zurückgeøegt wird und berechne daraus die mittøere Geschwindigkeit innerhaøb der ersten, zweiten, dritten und vierten Sekunde! 3 Weøche Wegøänge wird insgesamt zurückgeøegt? Berechne daraus die mittøere Geschwindigkeit v für die gesamte Føugzeit! 4 Wie müsste die braune Kurve aussehen, wenn der Pfeiø gøeichförmig mit der eben berechneten mittøeren Geschwindigkeit v føiegen würde? Zeichne sie in Fig. 2.9b ein! Weøche Kurve entsteht und wie øiegt sie zur gegebenen braunen Kurve? Begründe! 189 Ordne die Biøder den Diagrammen zu und interpretiere die Diagramme ohne zu rechnen in einem kurzen Aufsatz! a 0 1 4 1 s t b 0 1 4 1 s t c 0 1 4 1 s t d 0 1 4 1 s t I II III IV 190 Beantworte die zu Aufg. 188 anaøogen Fragen anhand der gegebenen Zeit-Weg-Diagramme in Aufg. 189! A 207‒210 S 50 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv