Reichel Mathematik 7, Schulbuch

56 Differentialrechnung 2 Die Ableitungsfunktion 1. Den Begriff Ableitungsfunktion verstehen und definieren Bisher haben wir immer nur punktuell – also in einem vorgegebenen Punkt des Graphen – die Steigung der Tangente graphisch („nach Augenmaß“) oder durch Berechnung des Differentialquotienten ermit- telt. Oft braucht man aber die Steigung in mehreren, ja allen Punkten des Graphen. Nützlich wäre hier- für eine neue Funktion, die jedem Punkt des Graphen der gegebenen Funktion die zugehörige Steigung (dh. den zugehörigen Differentialquotienten) zuweist. Definition Gegeben sei die auf einem offenen Intervaøø D f definierte reeøøe Funktion f: y = f (x). Existiert bei jeder Steøøe x 0 des Definitionsbereiches D f von f der Differentiaøquotient, so sagt man: Die Funktion f ist differenzierbar . Die Funktion f’: D f ¥ R , y = f’(x) nennt man die Abøeitungsfunktion (kurz: Abøeitung) von f, und f’(x 0 ) nennt man die Abøeitung von f bei x 0 . Die Funktion f heißt in diesem Zusammenhang die Stammfunktion von f’. Bemerkung: Statt f’ schreibt man häufig auch y’ . D f kann auch aus mehreren Intervallen bestehen. Einen ungefähren Eindruck von der Ableitungsfunktion f’ kann man sich verschaffen, indem man eine Wertetabelle anlegt; dazu ermittelt man an (hinreichend) vielen Stellen des Definitionsbereiches von f den Wert des Differentialquotienten. Das kann rechnerisch wie in Beispiel A geschehen oder auf gra- phischem Weg. 2. Graphisch differenzieren Beispiel C Ermittøe die Abøeitung der Sinusfunktion durch graphisches Differenzieren! Lösung: Erkøäre die Vorgangsweise in Beispieø C ! Weøche Funktion erhäøt man aøs Ergebnis? Laut Figur ist die Ableitung der Sinusfunktion offenbar die Cosinusfunktion – was sich auch rechne- risch bestätigen lässt. Regel Abøeitung der Sinusfunktion: Die Funktion f: R ¥ R , y = sinx besitzt die Abøeitungsfunktion f’: R ¥ R , y = cos x. Abøeitungsregeø 1 : (sinx)’ = cos x 1 Eigentlich sollten wir sin’ = cos schreiben. Um anzudeuten, dass wir nach x differenzieren, schreiben wir hier (und im Folgenden) das Argument x dazu. 2.3 S 47 y ļ y l 0 x x 0 A 215 A 228 155152-056 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv