Reichel Mathematik 7, Schulbuch

57 2.3 Die Ableitungsfunktion 2 In analoger Weise findet man : Regel Abøeitung der Cosinusfunktion: Die Funktion f: R ¥ R , y = cos x besitzt die Abøeitungsfunktion f’: R ¥ R , y = ‒sinx. Abøeitungsregeø: (cos x)’ = ‒ sinx Beispiel D Ermittøe die Steigung der Tangente an f: y = sinx bei x 0 = 1! Lösung: f’(1) = cos1 = 0,54 Beachte: x wird im Bogenmaß gemessen! 3. Rechnerisch differenzieren Abgesehen von einfachen Fällen ist graphisches Differenzieren kein geeignetes Werkzeug, die Glei- chung der Funktion f’ zu ermitteln. Um die Funktionsgleichung der Ableitung f’ von „komplizierten“ Funktionen f zu finden, berechnen wir den Differentialquotienten an der Stelle x 0 , wobei wir jedoch x 0 als Formvariable auffassen. Wir demonstrieren die Vorgangsweise an den Potenzfunktionen: Beispiel E Ermittøe die Gøeichung der Abøeitung f’ der Funktion f: R ¥ R , y = x n mit n * N *! Lösung: Wir berechnen f’(x 0 ) = øim Δ x ¥ 0 (x 0 + Δ x) n – x 0 n ______________ Δ x Mitteøs des binomischen Lehrsatzes (vgø. Buch 6. Kø. S. 92) erhäøt man für (x 0 + Δ x) n = x 0 n + “ n 1 § ·x 0 n – 1 · Δ x + “ n 2 § ·x 0 n – 2 ·( Δ x) 2 + … + ( Δ x) n und somit nach Subtraktion von x 0 n und Division durch Δ x: f’(x 0 ) = øim Δ x ¥ 0 “ “ n 1 § ·x 0 n – 1 + “ n 2 § ·x 0 n – 2 · Δ x + ... + ( Δ x) n – 1 § Beim Grenzübergang Δ x ¥ 0 streben aøøe Summanden gegen 0, mit Ausnahme des ersten. Unter Beachtung von “ n 1 § = n giøt somit: f’(x 0 ) = n·x 0 n – 1 Da n·x n – 1 für jedes x 0 * R und jedes n * N * definiert ist, erhält man insgesamt: Regel Abøeitung der Potzenzfunktion: Die Funktion f: R ¥ R , y = x n mit n * N * besitzt die Abøeitungsfunktion f’: R ¥ R , y = n·x n – 1 . Abøeitungsregeø: (x n )’ = n·x n – 1 Bemerkung: Wir werden später zeigen, dass diese Ableitungsregel nicht nur für Exponenten aus N * gilt, sondern für beliebige reelle Exponenten ungleich null. Insbesondere gilt für n = 0 : Regel Abøeitung der konstanten Funktion: Die Funktion f: R ¥ R , y = d besitzt die Abøeitungsfunktion f’: R ¥ R , y = 0. Abøeitungsregeø: (d)’ = 0 Bemerkung: Dass die konstante Funktion y = d die Funktion y’ = 0 als Ableitung besitzt, ist geometrisch evident. Der Graph der konstanten Funktion ist bekanntlich eine waagrechte Gerade, hat also überall die Steigung 0 . Beispiel F Ermittøe die Gøeichung der Tangente t P an f: y = x 5 im Kurvenpunkt P (‒3 1 y P )! Lösung: f (‒3) = (‒3) 5 = ‒243 w P (‒3 1 ‒243) f’(x) = y’ = 5·x 4 w f’(‒3) = 5·(‒3) 4 = 405 = k w t P : y = 405 x + 972 P * t P : ‒243 = 405·(‒3) + d w d = 972 A 212 A 213 A 214 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv