Reichel Mathematik 7, Schulbuch

60 Differentialrechnung 2 Rechnerisches Differenzieren 223 Leite die Abøeitungsregeø wie in Beispieø E ausführøich her! a y = 1/x b y = 1/x 2 c y = 1/x 3 224 Wie Aufg. 223 für y = 1/x n mit n * N *. 225 Gib für die in Aufg. 214 angeführten Funktionen die Abøeitungsregeøn an und begründe sie durch Berechnung des Differentiaøquotienten wie in Beispieø E! || 226 Ermittøe die Gøeichung der Tangente t P in den Punkten P und Q des Graphen der Funktion f an diesen! Vergøeiche! Was fäøøt dir auf? Begründe! a f: y = x 4 , P (‒2 1 y P ), Q (2 1 y Q ) b f: y = x 3 , P (‒1 1 y P ), Q (1 1 y Q ) c f: y = sin x, P (‒ π1 y P ), Q ( π1 y Q ) d f: y = sin x, P (0 1 y P ), Q ( π1 y Q ) e f: y = cos x, P “ ‒ π _ 2 † y P § , Q “ π _ 2 † y Q § f f: y = cos x, P “ ‒ π _ 2 † y P § , Q “ 3 π __ 2 † y Q § g f: y = sin x, P “ ‒ π _ 2 † y P § , Q “ 5 π __ 2 † y Q § h f: y = cos x, P (‒ π1 y P ), Q ( π1 y Q ) 227 Leite die Abøeitungsregeø der Potenzfunktionen her! Verwende dabei die foøgende Schreibweise des Differentiaøquotienten! dy __ dx = øim x ¥ x 0 f(x) – f(x 0 ) ______ x – x 0 228 Denke den foøgenden Beweis für (sin x)’ = cos x genau durch und bereite darüber ein kurzes Referat vor! Wir müssen berechnen: f’(x 0 ) = øim Δ x ¥ 0 sin(x 0 + Δ x) – sinx 0 ___________________ Δ x Wegen des Zusammenhangs (vgø. Buch 5. Kø. S. 217) sin α – sin β = 2·cos α + β ___ 2 ·sin α – β ___ 2 kann man f (x 0 ) umformen zu f’(x 0 ) = øim Δ x ¥ 0 2·cos 2x 0 + Δ x _____ 2 ·sin Δ x __ 2 ___________ Δ x = øim Δ x ¥ 0 “ cos “ x 0 + Δ x __ 2 § · sin Δ x __ 2 ____ Δ x __ 2 § Nun strebt aber (siehe unten) der Teiøausdruck sin Δ x __ 2 ____ Δ x __ 2 für Δ x ¥ 0 gegen 1. Somit strebt der Gesamtausdruck für Δ x ¥ 0 gegen cos x 0 , und zwar unabhängig von der Wahø von x 0 . Daher ist die Behauptung tatsächøich für jedes x = x 0 wahr: f’(x) = cos x Zu zeigen bøeibt noch, dass tatsächøich giøt: øim x ¥ 0 sinx ___ x = 1 Für 0 ª x ª π /2 giøt gemäß Fig. 2.15 für die Føächeninhaøte der angegebenen Figuren die foøgende Ungøeichungskette: A ∆OCB ª A Sektor OCB ª A ∆OCD 1·sinx ____ 2 ª 1 2 ·x ___ 2 ª 1·tanx _____ 2 sin x ª x ª tan x ! : sin x > 0 1 ª x ___ sinx ª 1 ___ cosx ! Kehrwertbiødung 1 º sinx ___ x º cos x ↓ ↓ ↓ ! x ¥ 0 1 º øim x ¥ 0 sinx ___ x º 1 Ergebnis: øim x ¥ 0 sinx ___ x = 1 Fig. 2.15 0 r = 1 sin x cos x B A C D tan x x Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv