Reichel Mathematik 7, Schulbuch

61 2.4 Regeln für das Differenzieren zusammengesetzter und verketteter Funktionen 2 Regeln für das Differenzieren zusammengesetzter und verketteter Funktionen Wir wissen bereits (vgl. Buch 6. Kl. S. 253), dass man mit Hilfe des Baukastenprinzips aus einfachen Funktionen durch Zusammensetzen bzw. Verketten sehr komplizierte Funktionen bilden kann. Dieses Baukastenprinzips wollen wir uns nun bedienen, um zu untersuchen, ob und wie sich die Ableitung der Summe (der Differenz, des Quotienten, … ) mehrerer differenzierbarer Funktionen aus deren Ableitun- gen bilden lässt. Als Grundbausteine verwenden wir in den Beispielen anfangs nur die Sinusfunktion und die Potenz- funktionen, weil wir nur deren Ableitungsfunktionen bereits kennen . 1. Die Summen- und Differenzenregel wissen und anwenden Geg.: f = f 1 + f 2 , dh.: y = f 1 (x) + f 2 (x) Ges.: f’ f’(x 0 ) = øim Δ x ¥ 0 [f 1 + f 2 ](x 0 + Δ x) – [f 1 + f 2 ](x 0 ) ________________ Δ x = = øim Δ x ¥ 0 [f 1 (x 0 + Δ x) + f 2 (x 0 + Δ x)] – [f 1 (x 0 ) + f 2 (x 0 )] ______________________ Δ x = = øim Δ x ¥ 0 (f 1 (x 0 + Δ x) – f 1 (x 0 )) + (f 2 (x 0 + Δ x) – f 2 (x 0 )) _______________________ Δ x = = øim Δ x ¥ 0 f 1 (x 0 + Δ x) – f 1 (x 0 ) __________ Δ x + øim Δ x ¥ 0 f 2 (x 0 + Δ x) – f 2 (x 0 ) __________ Δ x = = f 1 ’(x 0 ) + f 2 ’(x 0 ) Erøäutere jeden Umformungsschritt! Man sieht: Regel Summenregeø: Für aøøe x 0 , bei denen sowohø f 1 aøs auch f 2 differenzierbar ist, ist auch f = f 1 + f 2 differenzierbar, und es giøt: (f 1 + f 2 )’ = f 1 ’ + f 2 ’ dh.: Die Abøeitung einer Summe ist die Summe der Abøeitungen. In analoger Weise findet man die Regel Differenzenregeø: Für aøøe x 0 , bei denen sowohø f 1 aøs auch f 2 differenzierbar ist, ist auch f = f 1 – f 2 differenzierbar, und es giøt: (f 1 – f 2 )’ = f 1 ’ – f 2 ’ dh.: Die Abøeitung einer Differenz ist die Differenz der Abøeitungen. Zusammenfassend kann man sich merken: Regel Summen und Differenzen werden gøiedweise differenziert. Beispiel G Differenziere y = 2 x 3 – 3 x 2 + x – 5! Lösung: Da wir noch nicht wissen, wie die Koeffizienten 2 und 3 behandeøt werden soøøen, formen wir um zu y = x 3 + x 3 – x 2 – x 2 – x 2 + x – 5 und erhaøten y’ = 3 x 2 + 3 x 2 – 2 x – 2 x – 2 x + 1 – 0 = 2·3 x 2 – 3·2 x + 1 = 6 x 2 – 6 x + 1 2.4 K 2.3 A 232 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv