Reichel Mathematik 7, Schulbuch

62 Differentialrechnung 2 2. Regeln für das Differenzieren multiplikativer und additiver Konstanten wissen und anwenden Das Ergebnis in Beispiel G legt nahe zu untersuchen, wie Koeffizienten beim Differenzieren zu behan- deln sind. Nämøich wie? Mit Bezugnahme auf die Regel für die Ableitung der konstanten Funktion kann man sich insgesamt merken: Regel Konstantenregeø: 1) Muøtipøikative Konstanten bøeiben beim 2) Additive Konstanten verschwinden beim Differenzieren unverändert erhaøten. Differenzieren. a * R w (a · f) ′ = a · f ′ d * R w (f + d) ′ = f ′ Beispiel H Differenziere y = 3·sinx + sin2! Lösung: Beachte: sin2 ≈ 0,909 ist eine additive Konstante, 3 ist eine muøtipøikative Konstante w y’ = 3·cos x Bemerkung: In zB sin (x + π /4) ist π /4 keine additive Konstante, die beim Differenzieren wegfällt, da sie nicht zur Funktion (als Wert), sondern zum Funktionsargument addiert wird. Analoges gilt etwa auch für den Summanden 2 in (x + 2) 3 . Erøäutere! Für das Differenzieren solcher Funktionen braucht man weitere Regeln. 3. Die Produktregel wissen und anwenden Geg.: f = f 1 ·f 2 , dh.: y = f 1 (x)·f 2 (x) Ges.: f’ f’(x 0 ) = øim Δ x ¥ 0 [f 1 ·f 2 ](x 0 + Δ x) – [f 1 ·f 2 ](x 0 ) ______________ Δ x = = øim Δ x ¥ 0 [f 1 (x 0 + Δ x)·f 2 (x 0 + Δ x)] – [f 1 (x 0 )·f 2 (x 0 )] _____________________ Δ x Nun wenden wir einen Trick an, um f 1 ’ und f 2 ’ ins Spiel zu bringen: durch Subtrahieren und (zum Aus- gleich) Addieren des Ausdrucks f 1 (x 0 )·f 2 (x 0 + Δ x) im Zähler und anschließendes Herausheben erhalten wir = øim Δ x ¥ 0 f 1 (x 0 + ∆x)·f 2 (x 0 + ∆x) – f 1 (x 0 )·f 2 (x 0 + ∆x) + f 1 (x 0 )·f 2 (x 0 + Δ x) – f 1 (x 0 )·f 2 (x 0 ) _______________________________________ ∆x = = øim ∆x ¥ 0 “ f 1 (x 0 + ∆x) – f 1 (x 0 ) __________ ∆x ·f 2 (x 0 + ∆x) + f 1 (x 0 )· f 2 (x 0 + ∆x) – f 2 (x 0 ) __________ ∆x § = = f 1 ’(x 0 )·f 2 (x 0 ) + f 1 (x 0 )·f 2 ’(x 0 ) Erøäutere jeden Umformungsschritt! Man sieht: Regel Produktregeø: Für aøøe x 0 , bei denen sowohø f 1 aøs auch f 2 differenzierbar ist, ist auch f = f 1 ·f 2 differenzierbar, und es giøt: (f 1 ·f 2 )’ = f 1 ’·f 2 + f 1 ·f 2 ’ In analoger Weise erhält man für f = f 1 ·f 2 ·f 3 die Regel (f 1 ·f 2 ·f 3 )’ = f 1 ’·f 2 ·f 3 + f 1 ·f 2 ’·f 3 + f 1 ·f 2 ·f 3 ’ Wie øautet die Regeø für f = f 1 ·f 2 ·f 3 ·f 4 ? Allgemein kann man sich merken: Regel Die Abøeitung eines Produkts von n Faktoren geht in eine Summe von n Summanden über; diese Summanden erhäøt man, indem man der Reihe nach jeweiøs genau einen Faktor differenziert und mit den unveränderten anderen Faktoren muøtipøiziert. S 57 A 249 Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv