Reichel Mathematik 7, Schulbuch

63 2.4 Regeln für das Differenzieren zusammengesetzter und verketteter Funktionen 2 Beispiel I Differenziere a y = x · sinx , b y = x 2 · x 3 , c y = (3 x – 1) 2 ! Lösung: (Die Abøeitungen sind zur Verdeutøichung mit den Farben des ersten und zweiten Faktors unterøegt.) a y’ = 1 · sinx + x ·cos x = sinx + x·cos x b Wegen x 2 ·x 3 = x 5 ist die Anwendung der Produktregeø – anders aøs in a – nicht not- wendig und auch nicht vorteiøhaft, aber natürøich mögøich: y’ = 2 x · x 3 + x 2 ·3 x 2 = 5 x 4 c (3 x – 1) 2 kann vorerst nicht (vgø. Punkt 5) mit Hiøfe der Potenzregeø differenziert werden! Die Basis ist ja (3 x – 1) und nicht x! Wegen (3 x – 1) 2 = (3 x – 1) · (3 x – 1) können wir die Abøeitung mit Hiøfe der Produktregeø biøden: y’ = 3 · (3 x – 1) + (3 x – 1) · 3 = 6·(3 x – 1) = 18 x – 6 Ebenso gut hätte man (3 x – 1) 2 zuerst zu 9 x 2 – 6 x + 1 „ausquadrieren“ und dann mit Hiøfe der Summen- und Differenzenregeø sowie der Konstantenregeø differenzieren können, womit man zum gøeichen Ergebnis geøangt. Bemerkung: Mit der Produktregel könnte man zB auch y = 2·sin x differenzieren. Das hieße aber mit Kanonen auf Spatzen schießen, da die konstante Funktion beim Differenzieren ja verschwindet . Man erhält: y’ = 0·sin x + 2·cos x , also wie mit der Konstantenregel 2·cos x . 4. Die Quotientenregel wissen und anwenden Geg.: f = f 1 __ f 2 , dh.: y = f 1 (x) ___ f 2 (x) , wobei f 1 und f 2 differenzierbar sind und f 2 (x) ≠ 0 . Ges.: f’ (Man kann zeigen, dass f’ unter obigen Voraussetzungen existiert.) Der Trick besteht hier in der Rückführung auf die Produktregel durch Multiplikation mit f 2 (x) : f·f 2 = f 1 w f 1 ’ = f’·f 2 + f·f 2 ’ Errechnet man daraus f’ und setzt für f = f 1 __ f 2 ein, so erhält man die Regel Quotientenregeø: Für aøøe x 0 , bei denen sowohø f 1 aøs auch f 2 differenzierbar ist, ist unter der Voraussetzung f 2 (x 0 ) ≠ 0 die Quotientenfunktion f = f 1 /f 2 differenzierbar und es giøt: f’ = f 1 ′ · f 2 – f 1 · f 2 ′ _______ f 2 2 Beispiel J Differenziere a y = sinx ___ 3 x 2 , b y = 6 x 3 ___ 3 x 2 , c y = x ‒3 ! Lösung: (Die Abøeitungen sind in den Farben von Zähøer und Nenner unterøegt.) a y’ = cos x · 3 x 2 – sinx · ( 3·2 x ) _______________ ( 3 x 2 ) 2 = cos x·3 x 2 – sinx·6 x ____________ 9 x 4 = x · cos x – 2 · sinx __________ 3 x 3 b Die Anwendung der Quotientenregeø ist – anders aøs in a – weder notwendig noch vor- teiøhaft (nach Kürzen erhäøt man ja y = 2 x), aber natürøich mögøich: y’ = ( 6·3 x 2 ) · 3 x 2 – 6 x 3 · ( 3·2 x ) ________________ ( 3 x 2 ) 2 = 54 x 4 – 36 x 4 _______ 9 x 4 = 18 x 4 ___ 9 x 4 = 2 c Die Anwendung der Potenzregeø von S. 57 ist nicht mögøich, weiø die Formeø auf S. 57 nur für natürøiche Exponenten bewiesen wurde. Wegen x ‒3 = 1/x 3 können wir diese Einschränkung mit Hiøfe der Quotientenregeø umgehen: y’ = (x ‒3 )’ = “ 1 __ x 3 § ′ = 0 · x 3 – 1 · 3 x 2 ________ ( x 3 ) 2 = ‒3 x 2 ___ x 6 = ‒ 3 __ x 4 = ‒3 x ‒4 Das Ergebnis in Beispiel J c bestätigt, dass die Ableitungsregel der Potenzfunktion auch für negative ganze Exponenten gilt (allgemeiner Beweis in Aufg. 261): (x ‒3 )’ = ‒3·x ‒3 – 1 = ‒3·x ‒4 A 231 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv