Reichel Mathematik 7, Schulbuch

64 Differentialrechnung 2 5. Die Kettenregel wissen und anwenden Beispiel K Differenziere a y = (sinx) 2 , b y = (sinx) 3 ! Lösung: Wir können nicht die Potenzregeø anwenden, weiø die Basis sinx ist, und nicht x. Mit Hiøfe der Produktregeø geøingt die Differentiation: a y’ = (sinx·sinx)’ = cos x·sinx + sinx·cos x = 2·sinx·cos x b y’ = (sinx·sinx·sinx)’ = cos x·sinx·sinx + sinx·cos x·sinx + sinx·sinx·cos x = = 3·(sinx) 2 ·cos x Vermute in Fortsetzung der Ergebnisse in Beispieø K, wie die Abøeitung von (sinx) 4 øauten wird! Über- prüfe mit Hiøfe der Produktregeø! Das Ergebnis ist 4·(sin x) 3 ·cos x . Jedes dieser Ergebnisse kann man offenbar auch so gewinnen, dass man zunächst die „äußere Funk- tion“ (die Potenzfunktion) mittels der Potenzregel ableitet (wobei allerdings statt x die Basis sin x auf- tritt), und sodann die „innere Funktion“ (die Sinusfunktion) wie gewohnt ableitet und schließlich die beiden Ableitungen miteinander multipliziert. Was wäre bei y = sin (2 x) die innere, was die äußere Funktion? Wie øautet die Abøeitung? Die Sinusfunktion wäre die „äußere“ und die lineare Funktion 2 x (die aber ihrerseits ein Produkt zwei- er Funktionen ist) die „innere“ Funktion. Die Ableitung lautet (vermutlich) y = cos (2 x)·2 . In Verallgemeinerung dieser Beispiele und Überlegungen dürfen wir vermuten: Regel Kettenregeø: Ist die Funktion f 1 an der Steøøe x 0 und die Funktion f 2 an der Steøøe f 1 (x 0 ) differenzierbar, dann ist die verkettete Funktion f (x) = f 2 (f 1 (x)) an der Steøøe x 0 differenzierbar, und es giøt: f’(x 0 ) = f 2 ’(f 1 (x 0 ))·f 1 ’(x 0 ) Zur „Begründung“ bilden wir wieder den Differentialquotienten: f’(x 0 ) = øim Δ x ¥ 0 f 2 (f 1 (x 0 + Δ x)) – f 2 (f 1 (x 0 )) ______________ Δ x Wir erweitern den Bruch mit f 1 (x 0 + Δ x) – f 1 (x 0 ) ( ≠ 0) und erhalten: f’(x 0 ) = øim Δ x ¥ 0 “ f 2 (f 1 (x 0 + Δ x)) – f 2 (f 1 (x 0 )) ______________ f 1 (x 0 + Δ x) – f 1 (x 0 ) · f 1 (x 0 + Δ x) – f 1 (x 0 ) __________ Δ x § = f 2 ’(f 1 (x 0 )) · f 1 ’(x 0 ) Wie sieht die Kettenregeø aus, wenn drei Funktionen ineinander verkettet sind? Man erhält: (f 3 (f 2 (f 1 (x))))’ = f 3 ’(f 2 (f 1 (x)))·f 2 ’(f 1 (x))·f 1 ’(x) Regel Aøøgemeine Kettenregeø: Die Abøeitung einer verketteten Funktion ist das Produkt aøøer Abøeitungen, wobei man von außen nach innen fortschreitend jede auftretende Funktion differenziert. Merkregeø: df __ dx = df n ___ df n – 1 · df n – 1 ___ df n – 2 · … · df 2 __ df 1 · df 1 __ dx Die Anwendung der Kettenregel erfolgt also ähnlich wie das Zerlegen einer russischen Puppe. Erøäutere! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv