Reichel Mathematik 7, Schulbuch

65 2.4 Regeln für das Differenzieren zusammengesetzter und verketteter Funktionen 2 Beispiel L Differenziere a y = sin x 2 , b y = (1 – x) 100 , c y = (sin (2 x + π /3)) 3 ! Lösung: (Die Abøeitungen sind mit den Farben der inneren und äußeren Funktionen unterøegt.) a Anders aøs in Beispieø K a ist nun die Sinusfunktion die äußere Funktion und die Quadrat- funktion die innere Funktion; man erhäøt daher: y’ = cos x 2 · 2 x ( Warnung: Schreibe statt cos x 2 ·2 x besser 2 x·cos x 2 , um Fehøern wie cos 2 x 3 vorzubeugen!) b Im Prinzip könnte man diese Aufgabe ohne die Kettenregeø øösen. Wie? Mit der Ketten- regeø geøingt es aber sehr vieø einfacher: y’ = 100· (1 – x) 99 ·(‒1) c Hier sind drei Funktionen verkettet. Ganz außen die 3. Potenz, in der Mitte die Sinus- funktion, ganz innen eine øineare Funktion: y’ = 3·(sin (2 x + π /3)) 2 ·cos (2 x + π /3)·2 6. Implizit differenzieren Eine wichtige Anwendung der Kettenregel ist das Differenzieren von Funktionen, die implizit dargestellt sind. Dies ist manchmal praktischer als die Funktion erst in die explizite Darstellung umzuformen. Zu- dem gibt es Funktionen, die sich gar nicht explizit darstellen lassen. Vergleiche dazu die Ausführungen in Kap. 1.6 und 1.7 über die Lösbarkeit algebraischer Gleichungen durch „Formeln“: Beispiel M Differenziere a y = 3 9 _ x, b y = 9 _ x! Lösung: a Da wir für Wurzeøfunktionen noch keine Abøeitungsformeø kennen, wandeøn wir die expøizite Darsteøøung y = 3 9 _ x in die impøizite Darsteøøung y 3 = x um; diese kann man dann mitteøs der Abøeitungsformeø für die Potenzfunktion differenzieren. Beachte: y ist eine Funktion von x, daher muss y 3 nach der Kettenregeø abgeøeitet werden. Die innere Abøeitung ist dabei y’: y 3 = x differenzieren 3 · y 2 · y’ = 1 y’ expøizit machen y’ = 1 ___ 3 y 2 y aus der gegebenen Funktion durch x ausdrücken y’ = 1 ____ 3 · 3 9 _ x 2 umformen y’ = 1 _ 3 ·x ‒2/3 b Wir rechnen wie in a : y 2 = x 2·y·y’ = 1 y’ = 1 __ 2 y = 1 ___ 2 · 9 _ x = 1 _ 2 ·x ‒1/2 Die Ergebnisse dieses Beispiels legen es nahe, dass die Ableitungsformel für die Potenzfunktion von S. 57 auch für gebrochene Exponenten gilt 1 : y = 3 9 _ x = x 1/3 w y’ = 1/3·x 1/3 – 1 = 1/3·x ‒2/3 y = 9 _ x = x 1/2 w y’ = 1/2·x 1/2 – 1 = 1/2·x ‒1/2 Beweise aøøgemein, dass die Vermutung zutrifft ! Die in Beispiel M angewandte Methode nennt man implizites Differenzieren . Die Funktion y = 9 _ x wird nicht in ihrer expliziten Darstellung y = 9 _ x abgeleitet, sondern in ihrer impliziten Form y 2 = x (bzw. y 2 – x = 0 ). 1 Die Differenzierbarkeit wird dadurch nicht bewiesen! A 270 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv