Reichel Mathematik 7, Schulbuch

80 Differentialrechnung 2 Beispiel V Biøde zu f: R ¥ R , y = 5 x 3 – x 2 + 4 die Werte 1 f (2), 2 f’(2), 3 f’’(2), 4 f’’’(2), 5 f IV (2), 6 f V (2)! Lösung: 1 f (x) = 5 x 3 – x 2 + 4 f (2) = 40 2 f’(x) = 15 x 2 – 2 x f’(2) = 56 3 f’’(x) = (f’)’(x) = 30 x – 2 f’’(2) = 58 4 f’’’(x) = (f’’)’(x) = 30 f’’’(2) = 30 5 f IV (x) = (f’’’)’(x) = 0 f IV (2) = 0 6 f V (x) = (f IV )’(x) = 0 f V (2) = 0 Man sieht f IV , f V usw. haben alle den Wert 0 . Die Funktion f: R ¥ R , y = 5 x 3 – x 2 + 4 lässt sich beliebig (dh. unendlich) oft differenzieren, aber nur endlich viele Ableitungen sind von der Nullfunktion y = 0 verschieden (man sagt: verschwinden nicht bzw. sind nicht-trivial ). Wie vieøe von der Nuøøfunktion y = 0 verschiedene Abøeitungen besitzt ein Poøynom n-ten Grades ? Kennst du eine Poøynomfunktion, deren n-te Abøeitung du sofort hinschreiben kannst? Nenne sie und gib die Abøeitung an ! 3. Das HORNER-Schema nützen Die Funktionswerte einer Polynomfunktion f: y = a n x n + a n – 1 x n – 1 + a n – 2 x n – 2 + … + a 1 x + a 0 lassen sich im so genannten HORNER-Schema, welches vom englischen Mathe- matiker William George HORNER ( 1786–1837 ) im Jahre 1819 in den „Trans- actions“ veröffentlicht wurde, vorteilhaft berechnen. Wir erläutern die Idee an einem Polynom dritten Grades: Aus der Umformung f (x 0 ) = a 3 x 0 3 + a 2 x 0 2 + a 1 x 0 + a 0 = (a 3 x 0 2 + a 2 x 0 + a 1 )·x 0 + a 0 = ((a 3 x 0 + a 2 )·x 0 + a 1 )·x 0 + a 0 ergibt sich ein Rechenvorgang, in dem nur Multiplikationen (mit x 0 ) und Additionen der unmittelbar darüberstehenden Ausdrücke a 2 , a 1 und a 0 abwechselnd auszuführen sind. Zur konkreten Durchführung benützt man das Schema a 3 a 2 a 1 a 0 x 0 · x 0 a 3 a 3 ·x 0 ·x 0 a 3 ·x 0 + a 2 (a 3 ·x 0 + a 2 )·x 0 ·x 0 (a 3 ·x 0 + a 2 )·x 0 + a 1 ((a 3 ·x 0 + a 2 )·x 0 + a 1 )·x 0 ((a 3 ·x 0 + a 2 )·x 0 + a 1 )·x 0 + a 0 = = a 3 x 0 3 + a 2 x 0 2 + a 1 x 0 + a 0 = f (x 0 ) Bemerkung: Das HORNER-Schema lässt sich auch dann anwenden, wenn die Koeffizienten a i bzw. x 0 echt-komplexe Zahlen sind. 1 Beispiel V (Fortsetzung) Ermittøe für f: y = 5 x 3 – x 2 + 4 den Funktionswert bei 1 x 0 = ‒3, 2 x 0 = 2, 3 x 0 = 2 – 3i! Lösung: 1 Dieses Gerät wurde 1834 von W. G. HORNER entworfen und ist ein Wegbereiter des Spielfilms. Wie funktioniert es? A 326 A 321 + Wundertrommel 1 + + + x 0 a i 5 ‒1 0 4 ‒3 5 ‒16 48 ‒140 = f (‒3) 2 5 9 18 40 = f (2) 2 – 3 i 5 9 – 15 i ‒27 – 57 i ‒221 – 33i = f (2 – 3 i) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv