Reichel Mathematik 7, Schulbuch

81 2.6 Höhere Ableitungen 2 4. Das erweiterte HORNER-Schema kennen Da die Ableitungen f’ , f’’ usw. einer Polynomfunktion f wieder Polynomfunktionen sind, kann das HOR- NER-Schema natürlich auch zur Berechnung der Funktionswerte von f’ , f’’ , … , f (k) , … usw. verwendet werden, indem man in einem ersten Schritt durch Differenzieren f’ , f’’ , … , f (k) , … usw. ermittelt und in einem zweiten Schritt die Funktionswerte der Funktionen f’ , f’’ , … , f (k) , … usw. mittels des HORNER- Schemas berechnet. Bemerkenswert ist, dass man sich den ersten Schritt ersparen kann, wenn man das HORNER-Schema geeignet erweitert. Zur Erläuterung des Prinzips erweitern wir das obige HORNER-Schema des Poly- noms a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 um die folgenden Zeilen. Jede Zeile entsteht wie oben durch abwechselnde Multiplikation mit x 0 und Addition des unmittelbar darüberstehenden Ausdrucks: a 3 a 2 a 1 a 0 x 0 ·x 0 a 3 a 3 ·x 0 ·x 0 a 3 ·x 0 + a 2 (a 3 ·x 0 + a 2 )·x 0 ·x 0 (a 3 ·x 0 + a 2 )·x 0 + a 1 ((a 3 ·x 0 + a 2 )·x 0 + a 1 )·x 0 ((a 3 ·x 0 + a 2 )·x 0 + a 1 )·x 0 + a 0 = = a 3 x 0 3 + a 2 x 0 2 + a 1 x 0 + a 0 = f (x 0 ) x 0 ·x 0 a 3 a 3 ·x 0 ·x 0 2a 3 ·x 0 + a 2 (2a 3 ·x 0 + a 2 )·x 0 (3a 3 ·x 0 + 2a 2 )·x 0 + a 1 = = 3a 3 x 0 2 + 2a 2 x 0 + a 1 = f ’ (x 0 ) x 0 ·x 0 a 3 a 3 ·x 0 3a 3 ·x 0 + a 2 = f ’ ’(x 0 ) ____ 2 x 0 a 3 = f ’’’ (x 0 ) ____ 6 In Verallgemeinerung dieser Ergebnisse gilt: Satz Der øetzte Wert der k-ten Zeiøe im erweiterten HORNER-Schema für x 0 ist f (k) (x 0 ) ____ k ! . Bemerkungen: 1) Die Ausgangsfunktion zählen wir in der Formel als 0-te Ableitung. 2) Naheliegend ist die Frage, ob es dann auch eine –1-te (oder gar –2-te usw.) Ableitung gibt. Dieser Fortsetzungs- und Verallgemeinerungsdrang in der Mathematik führt tatsächlich auf ein interessan- tes Ergebnis, dem wir uns aber erst in der 8. Klasse beim Thema Integralrechnung widmen werden. Beispiel W Ermittøe anhand des erweiterten HORNER-Schemas bei x 0 = 2 die Funktionswerte aøøer (von der Nuøøfunktion verschiedenen) Abøeitungen für f: y = 5 x 5 – 3 x 4 + 2 x 3 – 4 x + 7! Lösung (zur Berechnung von k! vgø. Buch 6. Kø. S. 123!): k a i x 0 5 ‒3 2 0 ‒4 7 k! 0 2 5 7 16 32 60 127 w f (2) = 127 · 0! = 127 0! = 1 1 2 5 17 50 132 324 w f’(2) = 324 · 1! = 324 1! = 1 2 2 5 27 104 340 w f’’(2) = 340 · 2! = 680 2! = 2 3 2 5 37 178 w f’’’(2) = 178 · 3! = 1068 3! = 6 4 2 5 47 w f IV (2 ) = 47 · 4! = 1128 4! = 24 5 2 5 w f V (2) = 5 · 5! = 600 5! = 120 + A 327 + + + + + + Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv