Reichel Mathematik 7, Schulbuch

84 Differentialrechnung 2 2. Den Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit wissen Aus vielen Aufgaben (vgl. etwa Aufg. 221 und 222) wissen wir: Eine stetige Funktion f muss nicht an allen Stellen ihres Definitionsbereichs D f differenzierbar sein. Umgekehrt ist eine unstetige Funktion sicher nicht differenzierbar (jedenfalls nicht bei den Unstetigkeitsstellen ). Mit anderen Worten: Der Graph der Funktion enthält Punkte, bei denen keine Tangente existiert. Dies kann bedeuten, dass die Tangente nicht eindeutig ist, also links vom Punkt eine andere „existiert“ wie rechts vom Punkt (was Spitzen kennzeichnet ), oder dass es überhaupt keine gibt (wie etwa bei der Schneeflockenkurve – vgl. Buch 6. Kl. S. 163). Im Grunde kommen wir – da der Differentialquotient ja ein Grenzwert ist – nur auf das zurück, was wir aus der 6. Klasse von Grenzwerten (linksseitiger und rechtseitiger Grenzwert existieren, sind aber verschieden, oder es existiert überhaupt kein Grenzwert) schon kennen. x 0 x 0 y l y x 1 0 1 x 1 0 1 Fig. 2.20a x 0 x 0 y l y x 1 0 1 x 1 0 1 Fig. 2.20b Halten wir also fest: Satz Die Stetigkeit von f bei x 0 ist notwendig , aber nicht hinreichend für die Differenzierbarkeit von f bei x 0 . Umgekehrt folgt aus der Existenz des Differentialquotienten øim Δ x ¥ 0 f (x 0 + Δ x) – f (x 0 ) __________ Δ x = f’(x 0 ) dass øim Δ x ¥ 0 (f (x 0 + Δ x) – f (x 0 )) = f’(x 0 )· øim Δ x ¥ 0 Δ x Da die rechte Seite den Wert 0 hat, ist auch die linke Seite 0 . Also ist øim Δ x ¥ 0 f (x 0 + Δ x) = f (x 0 ) . Dies ist aber genau die Definition der Stetigkeit von f bei x 0 . Somit gilt: Satz Die Differenzierbarkeit von f bei x 0 ist hinreichend für die Stetigkeit von f bei x 0 . Mit anderen Worten zusammengefasst: Satz Satz über den Zusammenhang von Differenzierbarkeit und Stetigkeit: Ist eine Funktion f (bei x 0 ) differenzierbar, so ist sie (bei x 0 ) stetig. Umgekehrt muss eine bei x 0 stetige Funktion f dort nicht differen- zierbar sein. Dh.: Die Menge der differenzierbaren Funktionen ist eine echte Teiømenge der Menge der stetigen Funktionen. F 2.20b F 2.20a Differenzierbare Funktionen Stetige Funktionen Funktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv