Reichel Mathematik 8, Schulbuch

4 121 4.1 Stetige Zufallsvariable Stetige Zufallsvariable 1. Unterschied zwischen diskreten und stetigen Zufallsvariablen kennen Bei Produktionsprozessen ist eine (begleitende) Qualitätskontrolle unverzichtbar. Bei der Produktion von zB Bolzen der Soll-Länge 40 mm erwarten wir, dass die Ist-Länge der Soll-Länge entspricht, wissen aber sehr gut, dass zufällige Abweichungen der Ist-Länge von der Soll-Länge unvermeidlich sind. Mit anderen Worten: Die Ist-Länge X ist eine Zufallsvariable. Im Gegensatz zu unseren Überlegungen in der 7. Klasse kann diese Zufallsvariable nicht nur einzelne, diskret liegende Werte annehmen, sondern – im Prinzip  1 – jede reelle Zahl in einem (durch die Pro- duktionsbedingungen bestimmten „vernünftigen“) Intervall [ a ;  b ]. Eine solche Zufallsvariable bezeich- net man als stetige Zufallsvariable . Der wesentliche Unterschied zwischen einer diskreten und einer stetigen Zufallsvariablen besteht dar- in, dass eine stetige Zufallsvariable X ihre Werte (Realisationen) x mit der Wahrscheinlichkeit 0 an- nimmt. Auch ohne strengen Beweis ist dies unmittelbar plausibel: Wir halten es zwar nicht für un- möglich , dass X zB exakt den Wert x = 39,000001 mm annimmt (wenn wir dies auch nicht nachmessen können), würden aber jede Wette darauf eingehen, dass dies nicht eintritt, und sagen daher: P (X = x) = 0 Å x * [a; b] . Aus diesem Grund betrachtet man bei stetigen Zufallsvariablen niemals „punktuelle Ereignisse X = x “ , sondern immer nur „Intervallereignisse“ wie x 1 ª X ª x 2 , x 1 ª X usw., wobei es bei diesen Ereignissen egal ist, ob man offene, halboffene oder abgeschlossene Intervalle betrachtet. Begründe ! Aus diesem Grund ist es auch sinnlos, die Verteilung einer stetigen Zufallsvariablen X durch die Wahr- scheinlichkeitsfunktion anzugeben, wie wir dies bei einer diskreten Zufallsvariablen in der 7. Klasse machten (vgl. Buch 7. Kl. S. 244). Wegen P (X = x) = 0 wäre die Wahrscheinlichkeitsfunktion die iden­ tische Nullfunktion f: y = 0 und damit nichtssagend. Wie also soll man die Verteilung einer stetigen Zufallsvariablen X beschreiben? Die uns aus der Unterstu- fe bekannten Klasseneinteilungen und zugehörigen Histogramme sowie die in Kap. 2 und Kap. 3 behan- delte Integralrechnung weisen uns den Weg: 2. Stetige Zufallsvariable durch ihre Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion bzw. ihre Verteilungsfunktion beschreiben Aufgrund der Messgenauigkeit ist es doch so, dass beim Messen der Bolzenlängen zwangsläufig eine Klasseneinteilung entsteht; alle in einer Klasse liegenden Bolzen werden hinsichtlich der Länge (da auf- grund der begrenzten Messgenauigkeit nicht unterscheidbar) als gleich angesehen („identifiziert“).  1 Hier wird wieder einmal der Unterschied zwischen der „Realität“ und seiner mathematischen Modellierung deutlich. Erøäutere! 4.1 WS 3.1 A  432 A  432 WS 3.1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des V rlags öbv