Reichel Mathematik 8, Schulbuch

122 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 4 Schlichtet man die (n) Bolzen wie in Fig. 4.1a und misst ihre Länge X auf Millimeter genau, so kann man daraus das in Fig. 4.1b angegebene Histogramm unmittelbar „herunter- ordnern“. Erøäutere! Die relative Häufigkeit, mit der X in eine bestimmte Klasse (das heißt eines der 1 mm breiten Intervalle) fällt, wird wie üblich durch den Flächeninhalt des Rechtecks über diesem Intervall dargestellt. Die Summe der Flächeninhalte aller dieser Rechtecke ist 1 . Begründe! Misst man auf 0,5 bzw. 0,25 mm genau, so erhält man eine neue, „feinere“ Klasseneinteilung. Dabei wird der Flächen- inhalt jedes „alten“ Rechtecks auf zwei „neue“ (im Allge- meinen verschieden große) Rechtecke aufgeteilt, ohne dass sich dabei am Gesamtflächeninhalt 1 irgendetwas än- dert. Erkøäre anhand von Fig. 4.1c und d! Je genauer man misst, umso feiner wird die Klasseneintei- lung des Grundintervalls [ a ;  b ]. Letztlich steht man vor je- ner Situation, die wir schon in Kap. 3.1 behandelt haben: Im „Grenzwert“ entsteht aus der Treppenkurve, die die obere Berandung der Rechtecke bildet, eine im Allgemeinen steti- ge (jedenfalls aber integrierbare) Kurve f , die als (Graph der) Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der stetigen Zu- fallsvariablen X bezeichnet wird. Die Summen der Recht- ecksflächeninhalte im Intervall [x 1 ; x 2 ] sind dieRIEMANN- Summen des Integrals ​ :  ​ x​  1 ​ ​  ​x​  2 ​ ​f​(x)·dx welches die Wahrschein- lichkeit P (x 1 ª X ª x 2 ) angibt, mit der X in das Intervall [x 1 ; x 2 ] fällt. Diese Intervallwahrscheinlichkeit wird also durch den Flächeninhalt der Ordinatenmenge unter der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f über dem Intervall [x 1 ; x 2 ] repräsentiert. Obwohl Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen von der praktischen Anwendung her nur über einem bestimmten Intervall [ a ;  b ] sinnvoll sind, werden sie aus theoretischen Gründen meist über ganz R definiert; nötigenfalls setzt man außerhalb von [ a ;  b ] dazu f (x) = 0 . Dies erleichtert die allgemeine Definition (der Eigenschaften) wie folgt: Definition Eigenschaften einer Wahrscheinøichkeitsdichtefunktion f: 1) f ( 8((( x) º 0 für aøøe x * R 2) f ist integrierbar, dh.: ​ :  ​ x​  1 ​ ​  ​x​  2 ​ ​f​(x) · dx existiert für jedes x 1 , x 2 * R 3) Die Gesamtføäche unter f ist 1, dh.: ​ :  ‒ • ​  • ​f​(x) · dx = 1 4) ​øim  x ¥ – • ​ f (x) = 0 und ​ øim    x ¥ • ​ f (x) = 0 Bemerkungen: 1) Jede Funktion mit den Eigenschaften 1) bis 4) ist Dichtefunktion einer bestimmten stetigen Zufalls­ variablen. 2) Die Eigenschaft 2) sichert die Existenz der so genannten Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion (Buch 7. Kl. S. 244). x Flächen- inhalt = 1 f x n 39 38 40 41 42 mm x 39 38 40 41 42 Gesamtfläche = 1 mm Fig. 4.1b Fig. 4.1a Fig. 4.1d 38 x 39 40 41 42 mm Fig. 4.1c 38 x 39 40 41 42 mm Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv