Reichel Mathematik 8, Schulbuch

123 4.1 Stetige Zufallsvariable 4 Definition Eigenschaften einer Wahrscheinøichkeitsverteiøungsfunktion: 1) F (x) º 0 für aøøe x * R 2) F (x) = P (‒ • < X ª x) = :  ‒ •   x f(t) dt 3) F wächst monoton 4) øim   x ¥ ‒ • F (x) = 0 und  øim   x ¥ • F (x) = 1 Jede Funktion F mit diesen Eigenschaften kann als Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion einer steti- gen Zufallsvariablen angesehen werden. Bei der Beschreibung einer stetigen Zufallsvariablen X könnte man sich auch auf diese Funktion stützen . Wegen der größeren Anschaulichkeit verwenden wir aber (anders als in der Praxis) im Folgenden (fast) ausschließlich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f . Beispiel A a Diskutiere die Funktion f: y = 1/36 · (9 – x 2 ) x * [‒3; 3] y = 0 x + [‒3; 3] und zeichne ihren Graphen! b Zeige, dass f die Dichtefunktion einer stetigen Zufaøøsvariabøen X ist! c Berechne: 1 P (‒2 ª X ª 1), 2 P (X ª ‒1) Lösung: a Aus der Gøeichung øiest man unmitteøbar ab: Der Graph besteht aus einem Parabeøbogen, der sich øinks und rechts in der x-Achse fortsetzt (Figur). b Wir überprüfen die vier Eigenschaften, die eine Dichtefunktion haben muss: 1) Im Intervaøø [‒3; 3] ist 9 – x 2 º 0 und daher f (x) º 0, außerhaøb dieses Intervaøøs ist f (x) identisch 0. Aøso ist Bedingung 1) erfüøøt. 2) f ist aøs Poøynomfunktion integrierbar. 3) :  ‒ •   • f(x) · dx = :  ‒ •   ‒3 0 · dx + :  ‒3   3   1 __  36  · (9 – x 2 ) · dx + :  3   • 0 · dx = = 0 +   1 __  36 · “  9x –   x  3 __  3   § †  ‒3   3 + 0 = 1 4) Da f für x + [‒3; 3] identisch 0 ist, ist diese Bedingung triviaøerweise erfüøøt. c 1 :  ‒2   1 f(x) · dx =   1 __  36 · “  9 x –   x  3 __  3   § †  ‒2   1 =  2 _ 3 2 :  ‒ •   ‒1 f(x) · dx = :  ‒ •   ‒3 0 · dx + :  ‒3   ‒1   1 __  36  · (9 – x 2 ) · dx = 0 +   1 __  36 · “  9 x –   x  3 __  3   § †  ‒3   ‒1 =  7 __  27 3. Erwartungswert und Streuung einer stetigen Zufallsvariablen kennen Gemäß Kap. 3.1 sind Integrale das stetige Analogon zu Summen. Daher kann man – die Existenz der In- tegrale vorausgesetzt – die Definitionen für den Erwartungswert und die Varianz bzw. Streuung (Stan- dardabweichung) einer diskreten Zufallsvariablen (vgl. Buch 7. Kl. Kap. 6.2 und 6.5) E (X) = μ = ;  i = 1   n x i ·P (X = x i ) V(X) = σ 2 = ;  i = 1   n (x i – μ ) 2 ·P (X = x i ) bzw. E (X) = μ = ;  i = 1   • x i ·P (X = x i ) V(X) = σ 2 = ;  i = 1   • (x i – μ ) 2 ·P (X = x i ) auf stetige Zufallsvariablen wie folgt übertragen: Definition Ist f die Wahrscheinøichkeitsdichtefunktion einer stetigen Zufaøøsvariabøen X, so ist der Erweiterungswert E (X) = μ = :  ‒ •   • x · f (x) · dx und die Varianz V (X) = σ 2 = :  ‒ •   • (x – μ ) 2 · f (x) · dx x 1 y F A 436 x y 0 1 1 Flächeninhalt = 1 WS 3.1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv