Reichel Mathematik 8, Schulbuch

124 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 4 Beispiel A (Fortsetzung) Berechne 1 den Erwartungswert, 2 die Streuung von X! Lösung: 1 :  ‒ •   • x · f (x) · dx = :  ‒ •   ‒3 x · 0 · dx + :  ‒3   3 x ·   1 __  36 · (9 – x 2 ) · dx + :  3   • x · 0 · dx = = 0 +   1 __  36 · “    9 x  2 ___  2  –   x  4 __  4   § †  ‒3   3 + 0 = 0 = μ was aufgrund der Symmetrie des Graphen von f nicht verwunderøich ist. 2 :  ‒ •   • (x – 0) 2 ·f (x)·dx = :  ‒ •   ‒3 x 2 ·0·dx + :  ‒3   3 x 2 ·  1 __  36 ·(9 – x 2 )·dx + :  3   • x 2 ·0·dx = = 0 +   1 __  36  · “    9 x  3 ___  3  –   x  5 __  5   § †  ‒3   3 + 0 =   9 _  5 w σ = 9 __ 9/5 In Worten: Die gemäß f verteiøte Zufaøøsvariabøe X weicht von ihrem Erwartungswert μ = 0 durch- schnittøich um σ = 9 __ 9/5ab. 431 Beweise mitteøs Integraørechnung für a * R ! a E (X + a) = E (X) + a b E (a·X) = a·E (X) c V (X + a) = V (X) d V (a·X) = a 2 ·V (X) | 432 1 Begründe mitteøs der Integraørechnung, warum P (X = x) nuøø ist für aøøe x * R , und 2 warum die Wahr- scheinøichkeit, mit der X in das Intervaøø mit den Grenzen x 1 und x 2 fäøøt, unabhängig davon ist, ob nun das Intervaøø offen, abgeschøossen oder haøboffen ist! || 433 1 Zeige, dass f eine Wahrscheinøichkeitsdichtefunktion ist! 2 Skizziere den Graphen! 3 Berechne den Erwartungswert! 4 Berechne die Standardabweichung! 5 Berechne die Wahrscheinøichkeit, mit der X in das Intervaøø [1; 2] fäøøt! a f: y = 1/2 x * [0; 2] y = 0 x + [0; 2] b f: y = x/2 x * [0; 2] y = 0 x + [0; 2] c f: y = 3·e ‒3x x * [0; • [ y = 0 x + [0; • [ d f: y = 2·e ‒2x x * [0; • [ y = 0 x + [0; • [ 434 Begründe anhand von Fig. 4.2 die Namensgebung „Wahrscheinøichkeitsdichtefunktion“! Denke daran, wie die Dichte physikaøisch definiert ist! Interpretiere die „Massenverteiøung“ auf der x-Achse! Vergøeiche die Begriffe „Schwerpunkt“ und „Erwartungswert“! 435 1 Zeige, dass die unten gegebene Funktion f für ein bestimmtes a * R eine Wahrscheinøichkeits dichtefunktion ist! Ermittøe a! Die Funktion f ist außerhaøb des angegebenen Intervaøøs identisch 0. 2 Diskutiere die Funktion f und zeichne den Graphen! Berechne 3 den Erwartungswert, 4 die Standard- abweichung, 5 die Wahrscheinøichkeit, mit der X in das angegebene Intervaøø [x 1 ; x 2 ] fäøøt! a f: y = a·(x – 1/4·x 2 ) x * [0; 4] x 1 = 0, x 2 = 1 b f: y = a·(x – 2) 2 x * [0; 4] x 1 = 0, x 2 = 1 c f: y = a·sinx x * [0; π ] x 1 = π /4, x 2 = π /3 d f: y = a·cos x x * [‒ π /2; π /2] x 1 = π /4, x 2 = π /3 436 Ermittøe die Wahrscheinøichkeitsverteiøungsfunktion für a Aufg. 435 a , b Aufg. 435 b , c Aufg. 435 c , d Aufg. 435 d und führe eine Kurvendiskussion durch! Bestätige insbesondere die in der Definition für eine Verteiøungsfunktion geforderten Eigenschaften! 437 Wie Aufg. 436 für das obige Beispieø A. Fig. 4.2 x Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv