Reichel Mathematik 8, Schulbuch

125 4.2 Die Normalverteilung 4 Die Normalverteilung 1. Die Definition der Normalverteilung kennen Definition Die durch die Wahrscheinøichkeitsdichtefunktion f: y = ​  1 ____  σ · ​ 9 __ 2 π​ ​ · ​e​  ‒​  1 _  2 ​ ​ · ​ “  ​  x – μ ___ σ  ​  § ​ 2 ​ festgeøegte stetige Verteiøung heißt Normaøverteiøung mit den Para- metern  1 μ und σ , kurz N ( μ ; σ 2 )-Verteiøung.  2 Der Graph von f heißt GAUSS ’ sche Gøockenkurve . Ist insbesondere μ = 0 und σ = 1, so bezeichnen wir die Wahrschein- øichkeitsdichtefunktion mit φ statt mit f und sprechen von der Standardnormaøverteiøung N (0; 1). Die Normalverteilung ist heute aus Wissenschaft und Technik nicht mehr wegzudenken. Sie ist die ma- thematische Modellierung und theoretische Präzisierung der Erfahrungstatsache, dass sich stetige Zu- fallsvariablen normalerweise , dh. unter sehr allgemeinen Bedingungen „glockenförmig“ um ihren Er- wartungswert verteilen. Dabei gibt der Erwartungswert μ offenbar den x-Wert des höchsten Punktes der Glockenkurve, die Streuung σ die Lage der Wendepunkte der Glockenkurve an. Diese Eigenschaften können wir anhand der Definition von μ und σ durch eine Kurvendiskussion leicht nachprüfen. Um zu zeigen, dass die Glockenkurve tatsächlich eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion beschreibt, müssen wir für f die auf S. 122 aufgelisteten vier Eigenschaften nachprüfen. Dies ist – mit Ausnahme von Eigenschaft 3) – leicht möglich . Beim Beweis der Eigenschaft 3) wie auch später zur Ermittlung von Intervallwahrscheinlichkeiten P (x 1 ª X ª x 2 ) haben wir Integrale der Form  ​ :  ​ x​  1 ​ ​  ​x​  2 ​ ​  1 ____  σ ·​ 9 __ 2 π​ ​ ·​e​  ‒​  1 _ 2 ​ ​·​ “  ​  x – μ ___ σ  ​  § ​ 2 ​·dx zu berechnen. Gemäß Kap. 2.3 bietet sich zur Verein­ fachung des Integranden die Substitution z = (x – μ )/ σ mit dx = σ ·dz an, womit wir nach Anpassung der Integrationsgrenzen erhalten:  ​ :  ​ z​  1 ​ ​  ​z​  2 ​ ​  1 ___  ​ 9 __ 2 π​ ​ ·​e​  ‒​  1 _ 2 ​·​z​  2 ​ ​·dz  mit z 2 = (x 2 – μ )/ σ z 1 = (x 1 – μ )/ σ Geometrisch gesehen bedeutet die Substitution eine flä- chentreue Transformation der N ( μ ; σ 2 ) -Glockenkurve in die N (0; 1) -Glockenkurve. Erøäutere anhand von Fig. 4.3a und b insbesondere, dass μ z  = ​  μ x – μ x ____ σ x ​= 0 und σ z 2  =  ​  1 __  σ x 2 ​·V(x) = 1 ! Leider lässt sich auch das neue Integral nicht gemäß dem Hauptsatz der Integralrechnung berech- nen  3 , weil f gar keine elementare Stammfunktion besitzt. In der Praxis ist das kein Problem: Entweder verwendet man numerische Verfahren (vgl. Beispiel S in Kap. 2.5), die man heutzutage am Computer oder CAS-fähigen Taschenrechner ausführt, oder man greift (wie die letzten 200 Jahre) auf Tabellen zurück. Beides wollen wir hier zeigen.  1 Die Verwendung der Bezeichnungen μ und σ für die Parameter ist insofern gerechtfertigt, weil sich herausstellt, dass der Parameter μ den Erwartungswert, der Parameter σ die Streuung dieser Verteilung angibt.  2 Statt N( μ ; σ 2 ) wird häufig auch N( μ ; σ ) geschrieben. Vergewissere dich also bei der Lektüre von Büchern zur Wahrscheinlichkeitsrech- nung stets, ob in zB N(2; 9) die Zahl 9 die Streuung σ oder die Varianz σ 2 bedeutet. Um Missverständnisse vorzubeugen, schreiben wir statt N(2; 9) daher (suggestiver) N(2; 3 2 ) .  3 Durch einen Trick – auf den wir hier nicht näher eingehen – lässt sich für die Grenzen z 1 = ‒ • und z 2 = + • das Integral doch berech- nen. Man erhält exakt 1 , womit die Eigenschaft 3) von S. 122 für φ und damit auch für f nachgewiesen ist. Der Taschenrechner lie- fert nur einen Näherungswert. 4.2 x μ σ σ K  4.10 S  123 A  447 A  447 Fig. 4.3b x y 1 0 1 N (3;0,5 ) 2 x 1 x 2 z 1 z 2 N(0;1) z y 1 1 μ x =3 μ z = 0 A  431 S  90 A  447 F  4.4 160197-125 Fig. 4.3a Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv