Reichel Mathematik 8, Schulbuch

127 4.2 Die Normalverteilung 4 3. Arbeiten mit der Normalverteilung mittels der vollen Φ -Tabelle Wie Beispiel C 2 lehrt, benötigt man auch in Zeiten des Computers zusätzliche Überlegungen , die man am besten anhand einer Skizze vornimmt. Viele der folgenden Formeln sind bloß kompliziert ange- schriebene Formeln für geometrisch unmittelbar einleuchtende Sachverhalte! Auf solchen zusätzlichen Überlegungen fußen auch die Tabellen und deren Gebrauch (seit 200 Jahren). Zunächst steht man vor dem Problem, dass man eigentlich • 2 Tabellen benötigt, weil es ja zwei Form- variablen, nämlich μ und σ , gibt, also für jedes Paar ( μ1σ ) eine eigene Tabelle. Dass dies nicht nötig ist, zeigt uns die obige – für die Integration letztlich nicht hilfreiche – Substitution x ¥ z = (x – μ )/ σ . Durch diese Transformation werden alle • 2 vielen Normalverteilungen N ( μ ; σ ) abgebildet auf die Stan- dardnormalverteilung N (0; 1) . Erøäutere anhand der Fig. 4.3! Das heißt aber doch nichts anderes, als dass man mit einer einzigen Tabelle auskommt, nämlich der für die Standardnormalverteilung N (0; 1) . Die Arbeit reduziert sich also darauf einmal für hinreichend viele z die Werte der Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion Φ (z) durch numerische Integration der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion φ (z) zu berechnen. Diese Arbeitsersparnis beim Tabellieren hat ihren Preis – nämlich ein ständiges Umrechnen von x in z und umgekehrt von z in x gemäß der Standardisierungsformel. Jedenfalls kann man mit der so gewon- nenen Φ -Tabelle die obigen Beispiele wie folgt lösen: Beispiel B (Fortsetzung) Berechne die gesuchten Wahrscheinøichkeiten mitteøs der Φ -Tabeøøe auf S. 178 und 179! Lösung: Wir transformieren jeweiøs die Grenzen x 1 und x 2 der Intervaøøe gemäß der Standardi­ sierungsformeø in die Werte z 1 und z 2 und erhaøten: 1 x = 5 w z = ​  5 – μ ___ σ  ​ = ​  5 – 3 ___  2  ​= 1 P (X ª 5) = P (Z ª 1) = Φ (1) = 0,84134 2 x = 2,4 w z = ​  2,4 – μ ____ σ  ​ = ​  2,4 – 3 ____ 2  ​= ‒0,3 P (X < 2,4) = P (Z < ‒0,3) = Φ (‒0,3) = 0,38209 3 x 1 = 4,2 w z 1 = ​  4,2 – 3 ____ 2  ​= 0,6 x 2 = 5,1 w z 2 = ​  5,1 – 3 ____ 2  ​= 1,05 P (4,2 ª X ª 5,1) = P (0,6 ª Z ª 1,05) = Φ (1,05) – Φ (0,6) = 0,85314 – 0,72575 = 0,12739 4 x 1 = ‒1,55 w z 1 = ​  ‒1,55 – 3 ______ 2  ​= ‒2,275 x 2 = 0,884 w z 2 = ​  0,884 – 3 ______ 2  ​= ‒1,058 P (‒1,55 < X < 0,884) = Φ (‒1,058) – Φ (‒2,275) = 0,14503 – 0,01145 = 0,13358 Beachte, dass die beiden Werte nicht unmitteøbar der Tabeøøe entnommen werden können, weiø nur z-Werte mit zwei Nachkommasteøøen tabeøøiert sind. Sie müssen zwischen die Werten hinein- geschätzt oder – vgø Beispieø D – durch øineare Interpoøation ermitteøt werden. Beispiel C (Fortsetzung) Löse die Aufgabe durch Rückschøagen in der Φ -Tabeøøe! Lösung: Wir untersuchen zunächst die durch Standardisierung entstehende äquivaøente Frage: Ermittøe z so, dass P (Z ª z) = 0,4! Durch Rückschøagen in der Φ -Tabeøøe erhaøten wir (mit „Augenmaß eingeschätzt“) z = ‒0,253. Daraus ergibt sich durch Rückgängigmachen der Standardisierung das (wegen des Schätzens ungenaue) Ergebnis: z = ​  x – μ ___ σ  ​É ‒0,253 = ​  x – 2 ___  3  ​ w x = 1,241 S  125 S  178f 160197-127 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv