Reichel Mathematik 8, Schulbuch

128 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 4 4. Arbeiten mit der Normalverteilung mittels der halben Φ -Tabelle Betrachte die Form der Gøockenkurve der N (0; 1)-Verteiøung in Fig. 4.5 und vergøeiche mit der Tabeøøe der Φ -Funktion ! Was fäøøt dir auf? Die Argumente z gehen in der Tabelle nur von ‒4 bis 4 , klar, denn außerhalb des Intervalls [‒4; 4] ist φ (x) praktisch 0 . Die Symmet- rie des Graphen zur y-Achse spiegelt sich in der Tabelle insofern wider, als die Summe symmetrisch liegender Werte 1 ergibt. Daher ist eine (meist die linke) Hälfte der Tabelle eigentlich entbehrlich. Diese in vielen Lehrbüchern (insbesondere in Anwendungsgebie- ten) übliche Beschränkung hat den Nachteil, beim Nachschlagen mehr Umrechnungen (anhand von Formeln und geometrischen Überlegungen) durchführen zu müssen. So haben wir, da die rech- te Hälfte Φ -Tabelle nur Argumente z º 0 enthält, für negative Ar- gumente die folgende Umrechnung vorzunehmen. Regel Negativitätsregeø: Φ (‒z) = 1 – Φ (z) z º 0 Der Beweis dieser anschaulich klaren Sache erfolgt unter Bezugnahme auf die Definition der Vertei- lungsfunktion, die Symmetrie von φ , die Gegenereignisregel (die Gesamtfläche ist ja 1 ) und den Um- stand, dass es beim Integrieren egal ist, ob man über ein offenes oder ein abgeschlossenes Intervall in- tegriert: Φ (‒z) = P (Z ª ‒z) = P (Z º z) = 1 – P (Z < z) = 1 – P (Z ª z) = 1 – Φ (z) Wie bei diesem Beweis sollte man sich auch beim Lösen dieser Aufgaben immer von der Anschauung leiten lassen: Fertige daher stets eine Überlegungsskizze an, wie die gesuchte Intervall-Wahrscheinlich- keit mittels der Verteilungsfunktion Φ (z) ausgedrückt werden kann, und setze nicht blindwütig in bloß auswendig gelernte Formeln ein! Dabei muss (und kann auch) nicht zwischen offenen und abgeschlos- senen Intervallen unterschieden werden. Beim Integrieren ist es ja egal, ob man über das offene Inter- vall ]x 1 ; x 2 [ oder das abgeschlossene Intervall [x 1 ; x 2 ] integriert. Vereinbarungsgemäß schreiben wir abge- schlossene Intervalle (bzw. formen in diese um). Beispiel B (Fortsetzung) Berechne die gesuchten Wahrscheinøichkeiten mitteøs der „rechten Häøfte“ der Φ -Tabeøøe! Lösung: Wir transformieren jeweiøs die Grenzen x 1 und x 2 der Intervaøøe gemäß der Standardisie- rungsformeø in die Werte z 1 und z 2 und rechnen nötigenfaøøs mit der Negativitätsregeø um: 1 keine Änderung gegenüber der voøøen Φ -Tabeøøe zu vorher, da z > 0. 2 x = 2,4 w z = ​  2,4 – μ ____ σ  ​ = ​  2,4 – 3 ____ 2  ​= ‒0,3 P (X < 2,4) = P (Z < ‒0,3) = 1 – Φ (0,3) = 1 – 0,61791 = 0,38209 3 keine Änderung gegenüber der voøøen Φ -Tabeøøe, weiø z 1 und z 2 beide positiv sind. 4 x 1 = ‒1,55 w z 1 = ​  ‒1,55 – 3 ______ 2  ​= ‒2,275 x 2 = 0,884 w z 2 = ​  0,884 – 3 ______ 2  ​= ‒1,058 P (‒1,55 < X < 0,884) = Φ (‒1,058) – Φ (‒2,275) = (1 – Φ (1,058)) – (1 – Φ (2,275)) = 0,98855  – 0,85497   = 0,13358 Auch hier müssen (nur eben für positive z) die Werte aøs Zwischenwerte geschätzt oder durch øineare Interpoøation ermitteøt werden. S  178 S  179 Fig. 4.5 z y 1 0 1 z z y 0 z ‒ z 1 1 1 – Φ (z) Φ (‒ z) Φ (z) 160197-128 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv