Reichel Mathematik 8, Schulbuch

129 4.2 Die Normalverteilung 4 Beispiel C (Fortsetzung) Löse die Aufgabe durch Rückschøagen in der „haøben“ Φ -Tabeøøe! Lösung: Wir untersuchen zunächst wieder die durch Standardisierung entstehende äquivaøente Frage: Ermittøe z so, dass P (Z ª z) = 0,4! Ein direktes Rückschøagen in der „haøben“ Φ -Tabeøøe ist nicht mögøich, weiø diese erst bei Φ (z) = 0,5 beginnt. Wir müssen daher vorher noch nach der Negativitäts- regeø umrechnen zu Φ (‒z) = 1 – Φ (z) = 1 – 0,4 = 0,6. Für dieses z øiefert die Tabeøøe durch Rückschøa- gen (mit „Augenmaß eingeschätzt“) –z = 0,253, aøso z = ‒0,253. Durch Rückgängigmachen der Stan- dardisierung erhaøten wir das (wegen des Schätzens ungenaue) Ergebnis: z = ​  x – μ ___ σ  ​É ‒0,253 = ​  x – 2 ___  3  ​ w x = 1,241 Das Lösen von Beispiel C hätte noch komplizierter sein können, wenn wir die Zwischenwerte nicht nur nach Augenmaß hineingeschätzt, sondern durch lineare Interpolation  1 ermittelt hätten. Beispiel D Ermittøe P (Z ª 0,358) aus der Φ -Tabeøøe durch øineares Interpoøieren! Lösung: Φ (0,35) = 0,63683 Φ (0,36) = 0,64058 w ΔΦ = 0,64058 – 0,63683 = 0,00375 w Φ (0,358) = Φ (0,35) + 0,8 · ΔΦ = 0,63683 + 0,8 · 0,00375 = 0,63983 5. Vier Intervalltypen für das Arbeiten mit der Normalverteilung (er-)kennen und nützen Die obige Fortsetzung von Beispiel C zeigt, dass eine vergleichsweise simple Aufgabe, nämlich den Flä- cheninhalt eines bestimmten Normalbereiches zu berechnen, durch die Wahl von (unzulänglichen) Hilfsmitteln unnötig kompliziert werden kann. Da aber – leider – vielfach nicht die geeignete(re)n Hilfsmittel verfügbar oder sogar nur bestimmte Tabellen (bei Prüfungen) zugelassen werden, sind hier die verschiedenen Möglichkeiten nebeneinander dargestellt. Was jedenfalls immer gekonnt werden muss, ist die Übersetzung der Fragestellungen in das geometri- sche Modell. Im Grunde geht es dabei immer nur um vier Typen von Normalbereichen, denen wir zwecks einfacherer Sprechweise einprägsame Namen geben. Lerne die dabei stehenden Formeøn nicht (bøoß) auswendig, sondern versuche sie dir stets von neuem aus dem geometrischen Sachverhaøt herzuøeiten! Linker Spitz:  2 P (Z ª z) = Φ (z) Rechter Spitz:  2 P (Z º z) = 1 – Φ (z) Streubereich: P ( † Z † ª z) = Φ (z) – Φ (‒z) Antistreubereich: P( † Z † º z) = Φ (‒z) + (1 – Φ (z)) = 2·( Φ (z) ‒ 0,5) = 2· Φ (z) – 1 = 2·(1 – Φ (z))  1 interpolieren (aus dem Lateinischen) … dazwischenschieben  2 Beachte, dass (anders als in den Figuren angedeutet) z auch negativ sein kann. In diesem Fall hat man die Negativitätsregel anzuwenden. Fig. 4.6 z z y 0 1 1 Fig. 4.7 z z y 0 1 1 Fig. 4.8 z z y 0 1 1 ‒ z Fig. 4.9 z z y 0 1 1 ‒ z 160197-129 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv