Reichel Mathematik 8, Schulbuch

132 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 4 Anwendungsaufgaben zur Normalverteilung (Qualitätskontrolle) 1. Toleranzintervalle als Realisationen von Streubereichen kennen Eine wichtige Anwendung findet die Normalverteilung zB in der Qualitätskontrolle in Technik und Wirtschaft. Dies gründet sich unter anderem darauf, dass die Länge, die Masse usw. irgendwelcher Erzeugnisse unter sehr allge- meinen Bedingungen, die auf viele Produktionsprozesse zutreffen, eine normalverteilte Zufallsvariable X ist, deren Erwartungswert μ (bei richtiger Justierung der Maschine) die Soll-Länge, die Soll-Masse usw. ist und deren Streuung σ einen bestimmten, von der Qualität der Maschine abhän- gigen Wert hat. Liegt die Ist-Länge, die Ist-Masse usw. eines Erzeugnisses innerhalb eines bestimmten Intervalls um den Soll-Wert, so wird die Abweichung als unerheblich gewertet und toleriert. Man nennt dieses Intervall das Toleranzintervall , seine Grenzen die Toleranzgrenzen . Häufig werden diese durch den größten noch tolerierbaren Abstand ε vom Sollwert (Erwartungswert μ ) angegeben. Erheblich ist in jedem Fall die Wahrscheinlichkeit γ , mit der X im Toleranzintervall liegt, oder gleichbedeutend: die Wahrschein- lichkeit α , mit der X außerhalb des Toleranzintervalls liegt. Mit anderen Worten: Man möchte bei be- kannter Verteilung N ( μ ; σ 2 ) den relativen Anteil γ an brauchbaren Erzeugnissen bzw. den Ausschussan- teil α = 1 – γ abschätzen. Umgekehrt kann man auch bei bekannter Verteilung N ( μ ; σ 2 ) und bekanntem γ bzw. α nach ε fragen, oder bei bekanntem μ , ε und α bzw. γ nach σ usw. Insgesamt ergeben sich so vier Grundaufgaben, die wir im Aufgabenteil systematisch untersuchen werden. Sie lassen sich alle auf Gleichungen der Art P (x 1 ª X ª x 2 ) = γ zurückführen, wobei die Grenzen x 1 bzw. x 2 auch uneigentlich, also ‒ • bzw. • sein können. Im besonders wichtigen Fall eines γ -Streubereichs , dh. eines um μ symmetrischen Toleranzintervalls, erhält man insbesondere x 1 = μ – ε und x 2 = μ + ε , also  P ( μ – ε ª X ª μ + ε ) = P ( † X – μ† ª ε ) = γ bzw.  P ( μ – z· σ ª X ª μ + z· σ ) = P·( † X – μ† ª z· σ ) = γ wo man – wie üblich – die maximale Abweichung ε als Vielfaches (z-faches) der Streuung σ angibt: ε = z· σ Diese Darstellung ergibt sich unmittelbar aus der direkten Proportionalität ε  σ = z1 . Sie hat den Vor- teil, dass man sich nun mit z in der Standardnormalverteilung bewegt und die gesuchten Intervallwahr- scheinlichkeiten durch Φ (z) (ohne jede weitere Zwischenrechnung) ausdrücken kann. Unter Beachtung der Figuren 4.8 und 4.9 auf S. 129 erhält man die folgenden Formeln – Erøäutere! Satz γ -Streubereichsformeø: α -Antistreubereichsformeø: P ( † X – μ† ª z · σ ) = γ = 2 · Φ (z) – 1 P ( † X – μ† º z · σ ) = α = 2 ·( 1 – Φ (z)) μ μ + ε μ ‒ ε = Φ (z) ‒ σ σ σ σ x z . z . γ 2 1 2 μ μ + ε μ ‒ ε = 1 ‒ Φ (z) σ σ σ σ x z . z . α 2 α 2 4.3 Fig. 4.12 z x =0 z = z = z 1 z . σ z z . + + 1 1 μ x μ x σ σ ε ε μ z 0 F  4.12 Qualitätskontrollkarte Bolzenlänge 38 39 40 41 42 10 50 100 0 Nr. der Messung obere Eingriffsgrenze = 41,5 untere Eingriffsgrenze = 38,7 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv