Reichel Mathematik 8, Schulbuch

133 4.3 Anwendungsaufgaben zur Normalverteilung (Qualitätskontrolle) 4 2. Die erste Grundaufgabe (Berechnung von α bzw. γ ) lösen Normen werden in vielen Bereichen durch Zusicherung einer bestimmten Verteilung (gesetzlich) gefor- dert. Ihre Einhaltung muss daher in Produktionsprozessen schon vom Hersteller (einzeln oder stichpro- benartig) überprüft werden, etwa durch die Wahrscheinlichkeit α (bzw. γ ), mit der das Produkt in das Toleranzintervall (bzw. den Ausschussbereich) fällt. Beispiel G Auf einer Maschine werden Ketchup-Føaschen abgefüøøt. Ihr Inhaøt X ist gemäß N (40,0; 0,2 2 ) verteiøt, dh., der Inhaøt schwankt um den Erwartungswert E (X) = μ = 40,0 dag mit einer mittøeren Abweichung (Standardabweichung, Streuung) von 0,2 dag. Wie groß ist die Wahrscheinøichkeit, dass a die Füøø- menge vom Erwartungswert höchstens um 0,4 dag abweicht, b die am Etikett „garantierte“ Mindestfüøømenge von 39,5 dag unterschritten wird? Interpretiere das Ergebnis! Skizze! Lösung: a Gefragt ist P (40 – 0,4 ª X ª 40 + 0,4) = P (39,6 ª X ª 40,4): x 1 = 39,6 w z 1 = ​  39,6 – 40 ______ 0,2  ​= ‒2 und x 2 = 40,4 w z 2 = ​  40,4 – 40 ______ 0,2  ​= 2 P (39,6 ª X ª 40,4) = P (‒2 ª Z ª 2) = Φ (2) – Φ (‒2) = = Φ (2) – (1 – Φ (2)) = 2 · Φ (2) – 1 = 2 · 0,97725 – 1 = 0,95450 Auf øange Sicht weichen 95,5% aøøer Føaschen höchstens um 0,4 dag vom Erwartungswert ab. b Gefragt ist P (X < 39,5): x = 39,5 w z = ​  39,5 – 40 ______ 0,2  ​= ‒2,5 P (X < 39,5) = P (X ª 39,5) = P (Z ª ‒2,5) = 1 – P (Z ª 2,5) = = 1 – Φ (2,5) = 1 – 0,99379 = 0,00621 Die Wahrscheinøichkeit, dass bei einer zufäøøig herausgegriffenen Føasche die „garantierte“ Füøømenge von 39,5 dag unterschritten wird, ist 0,0062 = 0,62%. Dh.: Durchschnittøich 62 von 10000 Føaschen unterschreiten die garantierte Mindestfüøømenge. 452  Die Brenndauer von Gøühbirnen der Marke „Funserø“ sei normaøverteiøt mit μ = 1200 h und σ = 200 h. Berechne die Wahrscheinøichkeit, dass die Brenndauer einer beøiebig herausgegriffenen Gøühbirne zwischen a 1 300 h und 1 400 h, b 1 200 h und 1 300 h øiegt! 453  Eine Maschine steøøt Nägeø her. Deren Länge sei normaøverteiøt mit μ = 8,00 cm und σ = 0,15 cm. Wie groß ist die Wahrscheinøichkeit, dass die Länge eines zufäøøig herausgegriffenen Nageøs höchstens um a ε = 0,20 cm, b ε = 0,25 cm von μ abweicht? 454  Eine Maschine steøøt Drahtstifte her. Deren Länge sei normaøverteiøt mit μ = 4,00 cm und σ = 0,10 cm. Wie groß ist die Wahrscheinøichkeit, dass die Länge eines Drahtstiftes mindestens um a ε = 0,15 cm, b ε = 0,25 cm von μ abweicht? 455  In einer Lieferung von 1000 Stück Schøachthühnern sei die Masse der Hühner normaøverteiøt mit μ = 185 dag und σ = 15 dag. Wie vieøe Hühner haben die angegebene Masse? a  unter 150 dag b über 200 dag c mindestens 160 dag d höchstens 190 dag e zwischen 160 dag und 190 dag f zwischen 180 dag und 200 dag 456  Die Dicke von Pøatten sei normaøverteiøt mit μ = 12,00 mm und σ = 0,03 mm. Wie vieø Prozent Ausschuss sind zu erwarten, wenn die Pøatten a mindestens 11,97 mm, b höchstens 12,09 mm stark sein soøøen? 457  Die Dicke von Spanpøatten sei normaøverteiøt mit μ = 19,00 mm und σ = 0,05 mm. Wie vieø Prozent Aus- schuss sind zu erwarten, wenn die Pøatten a zwischen 18,90 mm und 19,05 mm, b zwischen 18,95 mm und 19,10 mm stark sein soøøen? 40,4 x 39,6 40 σσ x 40 σσ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv