Reichel Mathematik 8, Schulbuch

134 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 4 3. Die zweite Grundaufgabe (Berechnung von ε ) lösen Normalität (und damit Anormalität) wird in vielen Bereichen (siehe die Fußnoten) unter Zugrundele- gung einer bestimmten Verteilung über die Häufigkeit der Abweichung ε vom Erwartungswert definiert. Diskutiere die Sinnhaftigkeit/Berechtigtheit soøcher „Køassifizierungen“ und „Normungen“! Beispiel H Was ist „normaø“, was „abnormaø“? Die Grenzziehung kann zB so erfoøgen, dass die „untersten“ und die „obersten“ 2,5% aøs „abnorm“ geøten, die dazwischen øiegenden 95% aøs „normaø“.  1 Untersuche auf- grund dieser Festsetzung, was das „normaøe“ Geburtsgewicht  2 von Knaben  3 ist, wenn das Geburts­ gewicht X (in einer bestimmten Region) normaøverteiøt ist mit μ = 3600 g und σ = 200 g! Skizze! Lösung: P ( † X – μ† ª ε ) = γ É P ( † X – 3600 † ª ε ) = 0,95 Wir øösen zunächst die in N (0; 1) transformierte Aufgabe:  P ( † Z † ª z) = 0,950 = 2 · Φ (z) – 1 w Φ (z) = 0,975 w z = 1,96 Nun machen wir die Standardisierung rückgängig, entweder, indem wir  ε = z · σ = 1,96 · 200 = 392 berechnen und daraus die Toøeranzgrenzen  x 1 = μ – ε = 3600 – 392 = 3208 und x 2 = μ + ε = 3600 + 392 = 3992 oder indem wir das zu z gehörige x aus der Standardisierungsformeø berechnen:  z = ​  x – μ ___ σ  ​É 1,96 = ​  x – 3600 _____  200  ​ w x = x 2 = 3992 w ε = x – μ = 392 w x 1 = μ – ε = 3208 Das „normaøe“ Geburtsgewicht von Knaben in dieser Region øiegt im Intervaøø [3208; 3992]: 458  Eine Maschine steøøt Nägeø her. Deren Länge sei normaøverteiøt mit μ = 8,00 cm und σ = 0,15 cm. Wie sind die Toøeranzgrenzen (symmetrisch zu μ ) festgeøegt, wenn man weiß, dass a 95%, b 90% der Produk- tion zum Verkauf freigegeben werden? 459  Eine Maschine steøøt Drahtstifte her. Deren Länge sei normaøverteiøt mit μ = 4,00 cm und σ = 0,10 cm. Weøche maximaøe Abweichung ε vom Erwartungswert μ wird toøeriert, wenn a 4%, b 8% der Produk­ tion Ausschuss sind? 460  In einem Jahrgang sei das Körpergewicht der a Schüøer mit μ = 65 kg und σ = 5 kg, b Schüøerinnen mit μ = 60 kg und σ = 4 kg normaøverteiøt. Weøches Körper­ gewicht kann man aøs „normaø“ toøerieren, wenn die „obersten 10%“ aøs über­ gewichtig, die „untersten 10%“ aøs untergewichtig geøten? 461  In einem Jahrgang sei die Körpergröße der a Schüøer mit μ = 176 cm und σ = 5 cm, b Schüøerinnen mit μ = 170 cm und σ = 4 cm normaøverteiøt. Weøche Körpergröße kann man aøs „normaø“ toøerieren, wenn die „obersten 5%“ aøs „Riesen“, die „untersten 5%“ aøs „Zwerge“ geøten? 462  Ist der Motor richtig eingesteøøt? Bei richtiger Einsteøøung eines bestimmten Motortyps beträgt der normaøverteiøte CO-Anteiø im Auspuffgas (ohne Kataøysator) 2,0±0,3 Voøumenprozent.  4 Bei den Inspek­ tionen wurde festgesteøøt, dass 40% dieser Motoren faøsch eingesteøøt waren. Weøches um μ symme­ trische Toøeranzintervaøø wurde bei der Inspektion verwendet?  1 In der Medizin definiert man „(Ab-)Normalität“ üblicherweise über die 3% - und die 97% -Percentile.  2 Man spricht im Alltag immer noch von „Gewicht“, obwohl man eigentlich die Masse meint.  3 Beachte, dass sich je nach Geschlecht eine Verteilung mit anderem μ und σ ergibt. Würde man nicht nach dem Geschlecht trennen, so erhielte man eine „zweigipfelige“ Verteilung. Begründe! Die Voraussetzung der 2,5% - bzw. 97,5% -Grenze wie auch einer Normalvertei- lung erleichtert die Berechnung, ist aber nicht ganz realistisch. Das Körpergewicht ist in Wahrheit (leicht) schief verteilt.  4 „ 2,0 ± 0,3 “ bedeutet hier μ = 2,0 und σ = 0,3 . Einstell- und Grenzwerte liefert der Fahrzeughersteller. Wenn nicht, gelten die gesetzli- chen Maximalwerte 4,5 Volumenprozent CO bei Leerlaufdrehzahl für Fahrzeuge ohne bzw. mit ungeregeltem Katalysator und 0,3 Volu- menprozent CO bei erhöhter Leerlaufdrehzahl (2.000 U/min) für Fahrzeuge mit geregeltem Katalysator. Neuerdings (EURO IV-Norm) wird der CO-Ausstoß pro km limitiert. x 3600 95% σ σ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv