Reichel Mathematik 8, Schulbuch

135 4.3 Anwendungsaufgaben zur Normalverteilung (Qualitätskontrolle) 4 4. Die dritte Grundaufgabe (Berechnung von μ ) lösen Normen werden in vielen Bereichen durch Zusicherung einer bestimmten Verteilung (gesetzlich) gefor- dert. Ihre Einhaltung wird (etwa durch das Marktamt) stichprobenartig so überprüft, dass aus dem Er- gebnis auf die (tatsächlichen) Verteilungsparameter rückgerechnet werden kann. Der wohl wichtigste ist dabei der Erwartungswert der Verteilung. Beispiel I Ein Hersteøøer von Druckerpatronen behauptet, dass 95% seiner Patronen das Drucken von mindes- tens 180 Seiten (übøichen Schwärzungsgrades) erøauben. Wie groß ist die mittøere Druckkapazität X (in Seiten) dieser Patronen unter der Voraussetzung, dass eine Normaøverteiøung mit σ = 10 Seiten vorøiegt? Skizze! Lösung: Wir müssen μ aus P (X º 180) = 0,95 berechnen. Dazu gehen wir zur Standardnormaøverteiøung über:  P (Z º z) = 0,95 = 1 – Φ (z) w Φ (z) = 0,05 w z = ‒1,645 Nun entsprechen z und x einander in der Standardisierungsformeø:  z = ​  x – μ ___ σ  ​É ‒1,645 = ​  180 – μ _____ 10  ​ w μ = 196,5 Mit einer Druckerpatrone kann man durchschnittøich 196,5 Seiten drucken. 463  Eine Føaschenabfüøøanøage füøøt Öø mit der Standardabweichung σ = 2 g ab, sodass die Füøømengen normaøverteiøt sind. Der Abfüøøer wiøø seinen Kunden „garantieren“, dass in (mindestens) 95% aøøer Føaschen mindestens a 495 g, b 740 g eingefüøøt wurden. Auf weøchen Mitteøwert μ muss er die Anøa- ge einsteøøen? 464  Eine Føaschenabfüøøanøage füøøt Öø mit der Standardabweichung σ = 4 g ab, sodass die Füøømengen nor- maøverteiøt sind. Der Abfüøøer wiøø seinen Kunden „garantieren“, dass in (höchstens) 3% aøøer Føaschen we- niger aøs a 490 g, b 740 g eingefüøøt wurden. Auf weøchen Mitteøwert μ muss er die Anøage einsteøøen? 465  Eine Føaschenabfüøøanøage füøøt Öø mit der Standardabweichung σ = 3 g ab, sodass die Füøømengen nor- maøverteiøt sind. Aus Kostengründen wiøø der Abfüøøer erreichen, dass in (mindestens) 90% aøøer Føaschen höchstens a 510 g, b 760 g eingefüøøt werden. Auf weøchen Mitteøwert μ muss er die Anøage einsteøøen? 466  Eine Føaschenabfüøøanøage füøøt Öø mit der Standardabweichung σ = 3 g ab, sodass die Füøømengen nor- maøverteiøt sind. Aus Kostengründen wiøø der Abfüøøer erreichen, dass in (höchstens) 4% aøøer Føaschen mehr aøs a 508 g, b 760 g eingefüøøt wurden. Auf weøchen Mitteøwert μ muss er die Anøage einsteøøen? 467  Eine Maschine füøøt mit der Standardabweichung a σ = 2 g, b σ = 1 g Mehøpackungen mit der Nenn­ masse 1000 g ab, sodass die Massen der Packungen normaøverteiøt sind. Der Verpacker muss aufgrund gesetzøicher Vorschriften seinen Kunden „garantieren“, dass in höchstens 5% aøøer Packungen die auf der Packung angegebene Nennmasse um mehr aøs 3 g unterschritten wird. Auf weøche mittøere Masse μ muss er die Maschine einsteøøen? 468  Ein Hersteøøer von Kugeøschreibern behauptet, dass nur bei 1% seiner Minen die erzieøbare Linienøänge weniger aøs 1000 m beträgt. Wie groß ist die mittøere Linienøänge, wenn wir voraussetzen, dass die Linienøänge normaøverteiøt ist mit σ = 50 m? 469  Ein Hersteøøer von Waschmitteøn behauptet, dass mit der „Ökosparbox Supraweiß“ in 80% der getesteten Haushaøte eine Mindestøaugenmenge von 800 ø erzieøt wurde. Wie vieø Liter Lauge wird in einem zufäøøig gewähøten Haushaøt erzieøt, wenn man weiß, dass die Laugenmenge normaøverteiøt ist mit σ = 50 ø? 470  Ein Autohersteøøer behauptet, dass in 85% der Testwagen des neuen Typs „Ökopøus“ mit 10 ø Treibstoff mehr aøs 300 km zurückgeøegt werden konnten. Wie vieø Kiøometer fährt ein zufäøøig gewähøtes Auto dieser Type mit 10 ø Treibstoff voraussichtøich, wenn man weiß, dass die Wegøänge normaøverteiøt ist mit σ = 10 km? + x 95% σ σ 180 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv