Reichel Mathematik 8, Schulbuch

136 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 4 5. Die vierte Grundaufgabe (Berechnen von σ ) lösen Normen werden in vielen Bereichen durch Zusicherung einer bestimmten Verteilung (gesetzlich) gefor- dert. Ihre Einhaltung wird (etwa durch das Marktamt) stichprobenartig so überprüft, dass aus dem Er- gebnis auf die (tatsächlichen) Verteilungsparameter rückgerechnet werden kann. Nach dem Erwar- tungswert der wohl zweitwichtigste ist dabei die Standardabweichung der Verteilung. Beispiel J 90% aøøer Neugeborenen einer bestimmten Region wiegen zwischen 3400 g und 4000 g. Wie groß ist die Standardabweichung σ der Geburtsgewichte X, wenn wir (nicht ganz reaøistisch) annehmen, dass die Geburtsgewichte nor- maøverteiøt sind und das gegebene Intervaøø symmetrisch um μ øiegt? Skizze! Lösung: Aus der Symmetrie foøgt: μ = ​  3400 + 4000 _______ 2  ​= 3700 und ε = 300, somit  P (3400 ª X ª 4000) = P (3700 – 300 ª X ª 3700 + 300) = P ( † X – 3700 † ª 300) = 0,90 Standardisierung øiefert P ( † Z † ª z) = 0,90 = 2 · Φ (z) – 1 w Φ (z) = 0,95 w z = 1,645 Aus ε = z · σ foøgt σ = 300/1,645 w σ ≈ 182 g 471  95% aøøer neugeborenen a Mädchen, b Knaben in Österreich haben einen Kopfumfang zwischen a 31 und 37, b 32 und 38 cm. Wie groß ist die Standardabweichung σ , wenn das Intervaøø symmetrisch um μ øiegt und Normaøverteiøung vorausgesetzt wird? 472  Ein Produzent wiøø Packungen mit der Soøømasse 500 g so abfüøøen, dass bei mindestens 95% aøøer Packungen der Inhaøt höchstens um 5 g von der Soøømasse abweicht. Weøche Standardabweichung darf die Abfüøøanøage (höchstens) haben, wenn wir voraussetzen, dass die Masse der Packungen normaøverteiøt ist und die Maschine so justiert ist, dass die mittøere Masse gøeich der Soøømasse ist? 473  Ein Produzent wiøø Packungen mit der Soøømasse 500 g so abfüøøen, dass bei höchstens 3% aøøer Packun- gen der Inhaøt um mehr aøs 10 g von der Soøømasse abweicht. Weøche Standardabweichung darf die Abfüøøanøage (höchstens) haben, wenn wir voraussetzen, dass die Masse der Packungen normaøverteiøt ist und die Maschine so justiert ist, dass die mittøere Masse gøeich der Soøømasse ist? 474  Ein Produzent wiøø Packungen mit der Soøømasse 1000 g so abfüøøen, dass bei mindestens 95% aøøer Packungen der Inhaøt mehr aøs 995 g beträgt. Weøche Standardabweichung darf die Abfüøøanøage (höchstens) haben, wenn die Masse der Packungen normaøverteiøt und die Maschine so justiert ist, dass die mittøere Masse gøeich der Soøømasse ist? 475  Ein Produzent wiøø Packungen mit der Soøømasse 1000 g so abfüøøen, dass bei höchstens 5% aøøer Packun- gen der Inhaøt mehr aøs 1010 g beträgt. Weøche Standardabweichung darf die Abfüøøanøage (höchstens) haben, wenn die Masse der Packungen normaøverteiøt und die Maschine so justiert ist, dass die mittøere Masse gøeich der Soøømasse ist? 476  Der Produzent eines Massenartikeøs wiøø die Quaøität seines Produktes so gestaøten, dass in höchstens 1% aøøer Fäøøe innerhaøb der gesetzøichen Gewährøeistungsfrist von 24 Monaten der Garantiefaøø eintritt, in dem der Kunde die kostenøose Reparatur beanspruchen kann. Weøche Standardabweichung darf die Lebensdauer des Produktes haben, wenn dieses auf eine mittøere Lebensdauer von a 48, b 60 Monaten ausgeøegt und die Lebensdauer normaøverteiøt ist? 477  Ein Produzent wiøø die Quaøität seines Produktes so gestaøten, dass in höchstens 2% aøøer Fäøøe innerhaøb der freiwiøøigen Garantiezeit von 36 Monaten die kostenøose Reparatur beansprucht wird. Weøche Stan- dardabweichung darf die Lebensdauer des Produktes haben, wenn dieses auf eine mittøere Lebensdauer von a 60, b 120 Monaten ausgeøegt und die Lebensdauer normaøverteiøt ist? + x 90% 3400 4000 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv