Reichel Mathematik 8, Schulbuch

138 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 4 Bemerkungen: 1) Die Verbreiterung des Integrationsintervalls [x 1 ; x 2 ] nach links und rechts um je 0,5 heißt Stetigkeits- korrektur . Durch sie wird die Approximation für kleine σ wesentlich besser. Nur für sehr großes σ kann im Allg. auf sie verzichtet werden (vgl. Beispiel K und L)! 2) Beachte, dass X = X BV eine diskrete Zufallsvariable ist, sodass es – im Gegensatz zu X NV – nicht egal ist, ob man P (x 1 < X < x 2 ) , P (x 1 ª X < x 2 ) , P (x 1 < X ª x 2 ) oder P (x 1 ª X ª x 2 ) berechnet. Begründe! Zwecks Vereinheitlichung arbeiten wir in Hinkunft stets mit abgeschlossenen Intervallen x 1 ª X ª x 2 ; nötigenfalls formen wir (vgl. Beispiel K) geeignet um. Beispiel K Berechne die Wahrscheinøichkeit, mit einem ideaøen Tetraederwürfeø bei 48 Würfen mindestens 10-maø und weniger aøs 13-maø einen Vierer zu werfen! Rechne 1 exakt mit der Binomiaøverteiøung, 2 mit der integraøen Näherungsformeø, 3 mit der integraøen Näherungsformeø ohne Berücksich­ tigung der Stetigkeitskorrektur! Vergøeiche die Ergebnisse! Lösung: 1 Es sei X die Anzahø der geworfenen Vierer. Zu berechnen ist:  P (10 ª X < 13) = P (10 ª X ª 12) = P (X = 10) + P (X = 11) + P (X = 12) Dann giøt gemäß dem Verteiøungsgesetz der Binomiaøverteiøung (vgø. Buch 7. Kø. S. 251):  P (X = 10) = ​ “  ​  48 10 ​  § ​ · 0,25 10 · 0,75 38 = 0,11152  P (X = 11) = ​ “  ​  48 11 ​  § ​ · 0,25 11 · 0,75 37 = 0,12842  w P (10 ª X < 13) = 0,37192  P (X = 12) = ​ “  ​  48 12 ​  § ​ · 0,25 12 · 0,75 36 = 0,13198 2 Wegen μ = n · p = 48 · 1/4 = 12 und σ = ​ 9 ______ n · p · (1 – p)​= ​ 9 ______ 48 · 1/4 · 3/4​= ​ 9 ____ 144/16​= 3 ist die Faustregeø σ > 3 gerade nicht mehr erfüøøt. Dennoch woøøen wir die Binomiaøverteiøung durch die Normaø­ verteiøung N (12; 3 2 ) approximieren. Um die integraøe Näherungsformeø anwenden zu können, formen wir die „wörtøiche“ Übersetzung der Aufgabensteøøung: „Gesucht ist P (10 ª X < 13)“ um zu: „Gesucht ist P (10 ª X ª 12)“:  P (10 ª X ª 12) ≈ ​ :  9,5 ​  12,5 ​  1 ____  3 · ​ 9 __ 2 π​ ​ · ​e​  ‒​  1 _ 2 ​ · ​ “  ​  x – 12 ____ 3  ​  § ​  2 ​ ​ · dx Zur Auswertung des Integraøs gehen wir zur Standardnormaøverteiøung über:  z 1 = ​  9,5 – 12 _____ 3  ​= ‒0,8​ _ 3​ und z 2 = ​  12,5 – 12 _____ 3  ​= 0,1​ _ 6​  P (10 ª X ª 12) ≈ P (‒0,833 ª Z ª 0,167) = Φ (0,167) – Φ (‒0,833) = = Φ (0,167) – (1 – Φ (0,833)) = 0,3639 Das Ergebnis stimmt mit dem exakten Ergebnis gut überein, obwohø σ nur den Wert 3 hat. 3 P (10 ª X ª 12) ≈ ​ :  10 ​  12 ​  1 ____  3 · ​ 9 __ 2 π​ ​ · ​e​  ‒​  1 _ 2 ​ · ​ “  ​  x – 12 ____ 3  ​  § ​  2 ​ ​ · dx z 1 = ​  10 – 12 ____ 3  ​= ‒2/3 und z 2 = ​  12 – 12 ____ 3  ​= 0 P (10 ª X ª 12) ≈ P (‒2/3 ª Z ª 0) = Φ (0) – Φ (‒2/3) = = 0,5 – (1 – Φ (2/3)) = 0,5 – (1 – 0,7476) = 0,2476 Dieses Ergebnis ist unbrauchbar. Man darf auf die Stetigkeitskorrektur hier nicht verzichten. Bemerkungen: 1) Die integrale Näherungsformel erlaubt auch die Intervallereignisse P(X ª x) , P(X º x) und P(X ª x 1 = x 2 ª X) zu behandeln. Begründe (Beispieø L a )! 2) Selbst der Fall P (X = x) , x * N , kann mittels der integralen Näherungsformel behandelt werden, in- dem man von x – 0,5 bis x + 0,5 integriert. Begründe (Beispieø L b )! A  489 A  491 160197-138 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv