Reichel Mathematik 8, Schulbuch

139 4.4 Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung 4 Beispiel L Berechne mitteøs der approximierenden Normaøverteiøung 1 mit, 2 ohne Stetigkeitskorrektur die Wahrscheinøichkeit, mit einem ideaøen Würfeø bei 18000 Würfen a weniger aøs 2850-maø, b genau 2850-maø einen Sechser zu werfen! Lösung:  Sei X die Anzahø der geworfenen Sechser. Dann ist μ = n · p = 18000 · 1/6 = 3000 und σ = ​ 9 ______ n · p · (1 – p)​= ​ 9 ________ 18000 · 1/6 · 5/6​= ​ 9 ___ 2500​= 50 > 3 a 1 P (X < 2850) = P (0 ª X ª 2849) ≈ Φ  ​ “  ​  2849 + 0,5 – 3000 __________ 50  ​  § ​– Φ​ “  ​  0 – 0,5 – 3000 ________ 50  ​  § ​ = = Φ (‒3,01) – Φ (‒60,01) = (1 – Φ (3,01)) – 0 = 1 – 0,99869 = 0,00131 2 P (X < 2850) = P (0 ª X ª 2849) ≈ Φ​ “  ​  2849 – 3000 _______ 50  ​  § ​– Φ​ “  ​  0 – 3000 _____ 50  ​  § ​= = Φ (‒3,02) – Φ (‒60) = (1 – Φ (3,02)) – 0 = 1 – 0,99874 = 0,00126 b Diese Aufgabe øässt sich nur mit Stetigkeitskorrektur øösen. Der Trick besteht darin, von 2850 – 0,5 bis 2850 + 0,5 zu integrieren.  P (X = 2850) = Φ  ​ “  ​  2850,5 – 3000 ________ 50  ​  § ​– Φ  ​ “  ​  2849,5 – 3000 ________ 50  ​  § ​= Φ (‒2,99) – Φ (‒3,01) = = (1 – 0,99861) – (1 – 0,99869) = 0,00008 |  478  Eine ideaøe Münze wird 1 100-maø, 2 10000-maø geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinøichkeit, dass in mehr aøs a 55 Prozent, b 50,5 Prozent der Fäøøe Kopf geworfen wird? Vergøeiche die vier (BV und approx. NV) Ergebnisse und die Angaben genau! Was fäøøt dir auf? |  479  Eine Münze wird 1 100-maø, 2 10000-maø geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinøichkeit, dass die Anzahø der Würfe mit dem Ergebnis „Kopf” außerhaøb des Intervaøøs a [35; 65], b [4850; 5150] øiegt? Vergøeiche die vier (BV und approx. NV) Ergebnisse und die Angaben genau! Was fäøøt dir auf? |  480  Ein ideaøer Tetraeder-Würfeø wird 300-maø geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinøichkeit a höchstens 90- maø, b höchstens 60-maø, c weniger aøs 70-maø, d weniger aøs 80-maø eine „1“ zu werfen? |  481  Ein ideaøer Würfeø wird 3600-maø geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinøichkeit für die angegebenen Er- eignisse (X sei die Anzahø der geworfenen „6“)? Antworte in ganzen Sätzen! a P (X < 631) b P (X < 541) c P (X ª 660) d P (X ª 570) |  482  Berechne unter Beachtung von Beispieø L b die Wahrscheinøichkeit, mit einem ideaøen Würfeø bei 25920 Würfen a genau 4260-maø, b genau 4380-maø eine „6“ zu werfen! |  483  2000 Besucher woøøen in ein Stadion. Aus Erfahrung weiß man, dass 10% der Besucher mit Schøag­ stöcken, Wurfgeschoßen usw. ausgerüstet sind. Wie groß ist die Chance der Poøizei bzw. der Ordner, bei (zufäøøiger!) Durchsuchung von 200 Besuchern a nicht weniger aøs 40, b nicht mehr aøs 10, c mindes- tens 15 und höchstens 25,    d weniger aøs 10 oder mehr aøs 30 Rowdies zu erwischen? |  484  Die Säugøingssterbøichkeit, dh. die Wahrscheinøichkeit, innerhaøb des 1. Lebensjahres zu sterben, betrage in Mathematanien 18‰. Wie groß ist die Wahrscheinøichkeit, dass von 1000 zufäøøig gewähøten Säug­ øingen a höchstens 960, b mindestens 990, c mehr aøs 950 und weniger aøs 980, d weniger aøs 960 oder mehr aøs 990 Kinder den 1. Geburtstag erøeben? |  485  Die Wahrscheinøichkeit, dass eine bestimmte neue Operationstechnik zum Erfoøg führt, ist im inter­ nationaøen Durchschnitt 65%. An der Universitätskøinik in Innsbruck wird diese Behandøung nun auch durchgeführt. Wie groß ist die Wahrscheinøichkeit, dass die Operation bei 300 Patienten 1 mindestens 210-maø, 2 weniger aøs 200-maø, 3 genau 196-maø erfoøgreich verøäuft? |  486  Die Wahrscheinøichkeit, dass eine bestimmte neue Behandøungstechnik Heiøung bringt, ist im inter­ nationaøen Durchschnitt 75%. Am AKH in Wien wird diese Behandøung nun auch durchgeführt. Wie groß ist die Wahrscheinøichkeit, dass die Behandøung bei 300 Patienten 1 mehr aøs 230-maø, 2 höchstens 210-maø, 3 genau 220-maø erfoøgreich verøäuft? 160197-139 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv