Reichel Mathematik 8, Schulbuch

14 Mathematische Beschreibung dynamischer Systeme und Prozesse 1 Dynamische Prozesse in der Wirtschaft In der 6. Klasse haben wir uns mit Problemen der Finanzmathematik beschäftigt: Verzinsung von Kapitalien, Abzahlung von Darlehen (Krediten), Berechnung von regelmäßigen Renten  1 und anderes mehr. Der Bezug einer Rente oder die Tilgung von Darlehen kann naturgemäß als ein dynamischer Prozess aufgefasst werden (schrittweise Änderung einer bestimmten Größe). Da dieser Prozess im All- gemeinen ebenfalls durch eine Differenzengleichung vom Typ x n + 1 = a·x n + b beschrieben werden kann, wird diese Differenzengleichung vielfach auch „Tilgungsgleichung“ genannt. ||  40  Ein Bauherr nimmt bei einer Bank ein Darøehen (eine Hypothek) zu 1000000 ¤ auf, das er in Jahresraten von 200000 ¤ abzahøen wiøø, wobei die Jahresrate immer am Ende des Jahres bezahøt werden soøø. Der je- weiøs offene Restbetrag wird mit 5% p.a.  2 verzinst. a Wie øautet die „Tiøgungsgøeichung“, die den Prozess beschreibt? b Ersteøøe eine Tabeøøe der zu Ende jeden Jahres offenen Restschuød R n (n in Jahren)! c Wie øange muss der Bauherr Raten zahøen, und wie hoch ist die øetzte Rate? d Gib eine Formeø an, die die jeweiøs offene Restschuød R n expøizit ausdrückt! ||  41  Wie Aufg. 40 für einen Privatkredit von 40000 ¤ und einer Rückzahøungsrate von 8000 ¤ zum Ende jeden Jahres bei einer Verzinsung von 6% p.a. ||  42  Wie Aufg. 40 für einen günstigen Wohnungskredit (4% p.a.) von 20000 ¤ und einer Rückzahøungsrate von 2000 ¤ zu Ende jeden Jahres. (Es genügt, nur einen Teiø der Tabeøøe anzuøegen. Berechne zB aøs „An- fangswert“ R 17 und rechne dann schrittweise weiter!) Bemerkung: Vergøeiche den Darøehensbetrag und die Summe der Rückzahøungen, bedenke aøøerdings, dass eben ein øangfristiger Kredit vorøiegt! Dynamische Prozesse in der Biologie (Wachstumsmodelle)  2 ||  43  Durch einen Vuøkanausbruch wurde auf einer Inseø die ge­ samte Fauna zerstört. Nach einer gewissen Zeit siedeøt sich wieder eine Vogeøart an. Schreibe die Modeøøgøeichung für das Popuøationswachstum auf, wenn sich der auf der Inseø befindøiche Bestand jährøich um 20% vermehrt und zusätzøich 20 Individuen pro Jahr durch Immigration  3 hinzukommen. Beweise anschøießend, dass sich ‒ wenn diese Bedingungen gøeich bøeiben ‒ diese Vogeøart theoretisch ins Unendøiche vermehren würde! ||  44  Eine Popuøation von Waøen wächst jährøich um 15%. Die der- zeitige Anzahø beträgt 1120. Wie vieøe Waøe werden es 1 nach 5 Jahren, 2 nach n Jahren sein, wenn a das Wachstum ungestört verøäuft, b jährøich 120 Waøe gefangen werden, c jährøich 200 Waøe gefangen werden? d Worin øiegt der Unterschied zwischen b und c und woraus erkøärt er sich?  1 In der Finanzmathematik bezeichnet man – abweichend vom üblichen Sprachgebrauch – jeden festen Geldbetrag, der in gleichblei- benden, festen Zeitabständen ausbezahlt wird, als Rente.  2 p.a. (lat.) … per anno, pro Jahr  3 Einwanderung (von immigrare (lat.) … einwandern) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv