Reichel Mathematik 8, Schulbuch

140 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 4 | 487 Bei einem Wettbewerb soøøen mit einem Køeinkaøibergewehr 50 Luftbaøøons „heruntergeschossen“ werden. Pro Luftbaøøon ist ein Schuss erøaubt. Je nach der Anzahø der Treffer gibt es verschiedene Preise. Wie groß ist die Wahrscheinøichkeit, den 1 1. Preis, 2 2. Preis, 3 3. Preis zu gewinnen, wenn man aus Erfahrung weiß, dass man bei jedem Schuss mit einer Wahrscheinøichkeit a p = 0,95, b p = 0,80, c p = 0,65, d p = 0,5 trifft? 1. Preis: 45–50 Treffer Ein Pøüschtier im Wert von 30 €. 2. Preis: 40–44 Treffer Ein Taschenmesser im Wert von 15 €. 3. Preis: 35–39 Treffer Eine Taschenøampe im Wert von 7,50 €. 488 Wie groß ist die Gewinnerwartung (vgø. Buch 7. Kø. S. 248) in Aufg. 487, wenn man 2,50 € Startgeød zahøen muss? 489 Steøøe die foøgenden Ereignisse in der Form P (x 1 ª X ª x 2 ) dar! 1 P (X ª x) 2 P (x ª X) 3 P (X < x 1 = x 2 < X) 490 1 Zeige anhand einer Figur, dass beim Berechnen der angegebenen Wahrscheinøichkeit für eine binomi- aøverteiøte Zufaøøsvariabøe X bei Approximation durch die zugehörige Normaøverteiøung (mit Stetigkeits- korrektur) nach der Standardisierung z = (x – μ )/ σ das foøgende Integraø zu berechnen ist! Vergøeiche mit der integraøen Näherungsformeø und Beispieø L a ! 2 Begründe, warum die Stetigkeitskorrektur für großes σ (und damit auch n) vernachøässigt werden kann! 3 Wie øauten diese Formeøn ohne Stetigkeits- korrektur? 4 Begründe, warum man hier beim Rechnen mit Stetigkeitskorrektur stets größere Werte erhäøt aøs beim Rechnen ohne diese! a P (X ª x) ≈ :  ‒ •   z +   1 __  2 σ   1 ___  9 __ 2 π ·e  ‒  1 _ 2 ·t  2 ·dt = Φ “  z +   1 __  2 σ   § b P (X º x) ≈ 1 – :  ‒ •   z ‒   1 __  2 σ   1 ___  9 __ 2 π ·e  ‒  1 _ 2 ·t  2 ·dt = 1 – Φ “  z –   1 __  2 σ  § c P (x 1 ª X ª x 2 ) ≈ :  z  1 –   1 __  2 σ   z  2 +   1 __  2 σ   1 ___  9 __ 2 π ·e  ‒  1 _ 2 ·t  2 ·dt = Φ “  z  2 +   1 __  2 σ   § – Φ “  z  1 –   1 __  2 σ   § d P (X ª x 1 = x 2 ª X) ≈ 1 – :  z  1 +   1 __  2 σ   z  2 –   1 __  2 σ   1 ___  9 __ 2 π ·e  ‒  1 _ 2 ·t  2 ·dt = 1 – “ Φ “  z  2 –   1 __  2 σ   § – Φ “  z  1 +   1 __  2 σ   §   § 491 Begründe : Warum kann man P (X = x) = b n; p (x), x * {0; 1; …; n} mitteøs der integraøen Näherungsformeø nur dann ermitteøn, wenn man mit Stetigkeitskorrektur rechnet? Berechne auf diese Weise die Wahr- scheinøichkeit, bei 3600 Würfen genau 590-maø eine Sechs zu werfen! 492 Begründe : Warum stimmt P (X = x) = b n; p (x), x * {0; 1; …; n} näherungs weise mit dem Funktionswert der zugehörigen GAUSS’schen Gøocken kurve an der Steøøe x überein? Berechne auf diese Weise die Wahr- scheinøichkeit, bei 3600 Würfen genau 610-maø eine Sechs zu werfen! | 493 Überprüfe anhand der Funktionswerte bei x * {0; 1; …; 6}, wie gut die Wahrscheinøichkeitsfunktion b 6; 0,5 (x) der Binomiaøverteiøung durch die Wahrscheinøichkeitsdichtefunktion der zugehörigen Normaø verteiøung approximiert wird! 494 Wie kann man unter Verwendung der integraøen Näherungsformeø Binomiaøkoeffizienten berechnen? Berechne die angegebenen Binomiaøkoeffizienten und überprüfe das Ergebnis (mitteøs des PASCAL’schen Dreiecks oder mitteøs der in Buch 6. Kø. S. 183 angegebenen Formeø)! Was kann der Grund für größere Differenzen sein? a “    13 4    § b “    11 5  § c “    64 24   § d “    64 40   § Fig. 4.14 x x ‒0,5 x +0,5 x P(X = x) F 4.14 F 4.14 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv