Reichel Mathematik 8, Schulbuch

142 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 4 Systematisches Lösen von Anwendungsaufgaben zur Binomial­ verteilung mittels der Normalverteilung Aus Kap. 4.4 wissen wir, dass Aufgaben, die von der Theorie her eigentlich mittels der Binomialvertei- lung B (n; p) gelöst werden müssten, oft hinreichend genau mittels der „zugehörigen“ Normalverteilung N (μ = n·p ; σ 2 = n·p·q) mit q = 1 – p gelöst werden können. Im Folgenden wollen wir die dabei auftre- tenden Grundtypen von Anwendungsaufgaben in Analogie zu Kap. 4.3 systematisch abhandeln. 1. γ -Streubereiche für die absolute Häufigkeit einer binomialverteilten Zufallsvariablen bestimmen Die zentrale Bedeutung der Binomialverteilung beruht darauf, dass sich viele Situationen modellhaft als n -maliges Ziehen einer „Kugel“ mit Zurücklegen aus einer „Urne“ darstellen lassen, in der es nur zwei Arten von Kugeln gibt, nämlich „Treffer“ und „Nieten“. Die absolute Häufigkeit X der Treffer in einer Stichprobe vom Umfang n ist dann binomialverteilt. Mit anderen Worten: Die Binomialverteilung tritt immer dann auf, wenn gezählt wird, wie oft ein bestimmtes Ereignis bei n -maliger Versuchswieder­ holung unter gleichen Bedingungen eintritt. Merkregel: Die Bi -nomialverteilung beschreibt die Anzahl von „to be or not to be“. Von Interesse sind die Wahrscheinlichkeiten P(X = x) , P(X < x) , P(X > x) , P(x 1 ª X ª x 2 ) sowie P(X < x 1 = x 2 < X) . Alle diese Fragestellungen lassen sich in der Form P(x 1 ª X ª x 2 ) = γ darstellen, wobei die Grenzen x 1 und x 2 aus dem Intervall [0; n] stammen. Im wichtigen Fall eines γ -Streubereichs , dh. eines um den Erwartungswert E (X) = μ symmetrischen In- tervalls vom Radius ε > 0 erhält man insbesondere:  P ( μ – ε ª X ª μ + ε ) = P ( † X – μ† ª ε ) = γ (*) Die näherungsweise Berechnung von γ = P ( † X – μ† ª ε ) erfolgt gemäß Kap. 4.3 und 4.4 durch Rückfüh- rung auf die entsprechende Fragestellung γ = P ( † Z † ª z) = 2· Φ (z) – 1 bei der Standardnormalvertei- lung. Je nachdem, ob man ohne oder ob man mit Stetigkeitskorrektur rechnet, erhält man gemäß Fig. 4.16 und der Standardisierungsformel z = (x – μ )/ σ : Ohne Stetigkeitskorrektur Mit Stetigkeitskorrektur z = ​  μ + ε – μ ______ σ  ​ = ​  ε _ σ ​ , also ε = z· σ z = ​  μ + ε + 0,5 – μ ________ σ  ​ = ​  ε + 0,5 ____ σ  ​ , also ε = z· σ – 0,5 Setzt man für ε in (*) ein und berücksichtigt, dass μ = n·p und σ = ​ 9 ___  npq​ mit q = 1 – p , so erhält man den Satz γ -Streubereichsformeø für die absoøute Häufigkeit X, wobei X binomiaøverteiøt ist: P ( † X – n · p † ª z · ​ 9 ____  n · p · q​) = γ ≈ 2 · Φ (z) – 1 ohne Stetigkeitskorrektur P ( † X – n · p † ª z · ​ 9 ____  n · p · q​– 0,5) = γ ≈ 2 · Φ (z) – 1 mit Stetigkeitskorrektur 4.5 WS 3.4 A  489 S  132 Fig. 4.16a z ‒ z – x 0 z + μ μ μ ε ε ε ε Fig. 4.16b z ‒ z – x 0 z + μ μ μ ε ε ε ε 0,5 0,5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv