Reichel Mathematik 8, Schulbuch

143 4.5 Systematisches Lösen von Anwendungsaufgaben zur Binomialverteilung mittels der Normalverteilung 4 2. γ -Streubereiche für die relative Häufigkeit einer binomialverteilten Zufallsvariablen bestimmen Analog kann man nach den γ -Streubereichen für die relative Häufigkeit (den Anteil ) der „Treffer“ in ei- ner Stichprobe vom Umfang n fragen; wir schreiben für diese Zufallsvariable X/n , weil die relativen Häufigkeiten (Anteile) aus den obigen absoluten Häufigkeiten X mittels Division durch den Stichproben- umfang n entstehen. Dabei geht (vgl. Aufg. 431 b und d mit a = 1/n)  E (X) = μ X = n·p über in ​  E(X) ___  n  ​= E ​ “  ​  X _ n ​  § ​= μ X/n = p und σ X = ​ 9 ______ n·p·(1 – p)​ in ​  ​ σ ​  X ​ __ n  ​= ​ 9 _____ ​  n·p·(1 – p) _______ n 2 ​ ​= ​ 9 _____ ​  p·(1 – p) ______ n  ​​ = σ X/n , da σ 2  ​ “  ​  X  _ n ​  § ​ = ​  1 __  ​n​  2 ​ ​· σ 2  (X) Die γ -Streubereichsformel für die absolute Häufigkeit X geht daher über in den Satz γ -Streubereichsformeø für die reøative Häufigkeit X/n, wobei X binomiaøverteiøt ist: P ​ “  ​ †  ​  X _  n ​– p  † ​ª z · ​ 9 ____ ​  p · (1 – p) ______ n  ​​  § ​= γ ≈ 2 · Φ (z) – 1 P ​ “  ​ †  ​  X _  n ​– p  † ​ª z · ​ 9 ____ ​  p · (1 – p) ______ n  ​ ​– ​  0,5 __ n  ​  § ​= γ ≈ 2 · Φ (z) – 1 ohne Stetigkeitskorrektur mit Stetigkeitskorrektur 3. Zwischen γ -Streubreichen und α -Antistreubereichen wechseln können In analoger Weise lässt sich die α -Antistreubereichsformel von S. 132 übertragen ! Satz α -Antistreubereichsformeø für die absoøute Häufigkeit X, wobei X binomiaøverteiøt ist: P ( † X – n · p † º z · ​ 9 ____  n · p · q​) = α ≈ 2 · (1 – Φ (z)) P ( † X – n · p † º z · ​ 9 ____  n · p · q​+ 0,5) = α ≈ 2 ·(1 – Φ (z)) ohne Stetigkeitskorrektur mit Stetigkeitskorrektur α -Antistreubereichsformeø für die reøative Häufigkeit X/n, wobei X binomiaøverteiøt ist: P ​ “  ​ †  ​  X _ n ​– p  † ​º z · ​ 9 ____ ​  p · (1 – p) ______ n  ​​  § ​= α ≈ 2 ·( 1 – Φ (z)) P ​ “  ​ †  ​  X _ n ​– p  † ​º z · ​ 9 ____ ​  p · (1 – p) ______ n  ​ ​+ ​  0,5 __ n  ​  § ​= α ≈ 2 ·( 1 – Φ (z)) ohne Stetigkeitskorrektur mit Stetigkeitskorrektur Wegen α = 1 – γ sind die neuen Formeln aber eigentlich entbehrlich, ja verwirren vielleicht sogar wegen des Vorzeichenwechsels bei 0,5 . Lerne daher die Formeln nicht stur auswendig, sondern versuche sie stets aufs Neue an einer Skizze „anschaulich herzuleiten“! Alle in diesem Kapitel behandelten Formeln stellen Beziehungen zwischen den vier Parametern n , p , ε (bzw. z ) und γ her; sind drei davon gegeben, so lässt sich der vierte aus den Formeln berechnen. Dem- gemäß gibt es vier Grundaufgaben, die wir im Aufgabenteil Fall für Fall besprechen. Ob man dabei bes- ser mit absoluten oder mit relativen Häufigkeiten argumentiert und ob man besser mit γ oder mit α rechnet, hängt von der Aufgabenstellung ab; der Wechsel zwischen den Formeln mittels Division durch n bzw. Multiplikation mit n sowie über den Zusammenhang α = 1 – γ sollte ja – falls alles gut verstan- den wurde – unschwer möglich sein. 1 498  Begründe foøgende Form der γ -Streubereichsformeø für die absoøute Häufigkeit X mit Stetigkeits­ korrektur!  1 P ​ “  † X – n·p † ª z·​ 9 ______ n·p·(1 – p)​  § ​= γ ≈ 2· Φ ​ “  z + ​  1 _________  2·​ 9 ______ n·p·(1 – p)​ ​ § ​– 1 499  Begründe und veranschauøiche anaøog zu Fig. 4.16 die α -Antistreubereichsformeø für die a absoøute, b reøative Häufigkeit der binomiaøverteiøten Zufaøøsvariabøen X!  1 Beachte, dass mit dieser Formel die nachfolgende dritte und vierte Grundaufgabe nicht gelöst werden können. WS 3.4 + A  499 F  4.17 Fig. 4.17 x α 2 α 2 γ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv