Reichel Mathematik 8, Schulbuch

144 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 4 4. Die erste Grundaufgabe lösen: Berechnung von γ aus n , p und ε Beispiel M Bei einer Føaschenabfüøøanøage, weøche Føaschen mit der Wahrscheinøichkeit p = 0,90 korrekt füøøt, wird ein Posten von n = 400 Føaschen verpackt. Berechne, mit weøcher Wahrscheinøichkeit γ der reøative Anteiø X/n der korrekt gefüøøten Føaschen vom erwarteten Wert p = 0,90 um höchstens 0,04 abweicht! Interpretiere das Ergebnis! Lösung: Wir haben die foøgende Gøeichung für γ zu øösen:  P ( † X/n – 0,90 † ª 0,04) = γ bzw. nach Übergang zu den absoøuten Häufigkeiten durch Muøtipøikation mit n = 400  P ( † X – 360 † ª 16) = γ Wegen μ = 400 · 0,90 = 360 und σ = σ X = ​ 9 _______ 400 · 0,90 · 0,1​= 6 > 3 dürfen wir die Binomiaøverteiøung durch die Normaøverteiøung N (360; 6 2 ) approximieren. Aus Gründen der Genauigkeit rechnen wir mit Stetigkeitskorrektur. Durch Einsetzen von ε = 400 · 0,04 = 16 und σ = 6 in ε = z · σ – 0,5 erhaøten wir: 16 = z · 6 – 0,5 w z = 2,75 w γ ≈ 2 · Φ (2,75) – 1 = 0,99404 Der Anteiø der korrekt gefüøøten Føaschen weicht mit der Wahrscheinøichkeit γ ≈ 99,4% um höchstens 0,04 vom erwarteten Anteiø p = 0,90 ab. Ausgedrückt mit den absoøuten Häufigkeiten heißt dies: Die Anzahø X der korrekt gefüøøten Føaschen øiegt mit rund 99,4% Wahrscheinøichkeit im Intervaøø [ μ – ε ; μ + ε ] = [344; 376]. Dh., wir dürfen erwarten, dass bei 994 von 1000 derartigen Posten die An- zahø der korrekt gefüøøten Føaschen zwischen 344 und 376 øiegt. ||  500  Löse Beispieø M ohne Stetigkeitskorrektur! ||  501  Ein Bauer transportiert 10 Schock  1 Eier zum Bauernmarkt. Aus Erfahrung weiß er, dass durchschnittøich 90% der Eier den Transport „überøeben“. Wie groß ist die Chance, dass der Prozentsatz der „überøeben- den“ Eier diesmaø nicht mehr aøs a 0,02, b 0,03 vom Erfahrungswert abweicht? ||  502  Wie Aufg. 501 für 5 Gros  2 Eier. ||  503  Ein Prospekt verspricht, dass im Urøaubsparadies „Sikkinien“ in der Urøaubssaison nur durchschnittøich ein Tag pro Woche verregnet ist. Herr Meier bucht einen    a vierwöchigen, b sechswöchigen Urøaub. Berechne mit Hiøfe der 1 Binomiaøverteiøung, 2 Normaøverteiøung die Chance, dass die Gesamtzahø der Regentage während seines Urøaubs die versprochene Gesamtzahø um höchstens 2 Tage über- oder unter- schreitet! ||  504  Wie Aufg. 503 für durchschnittøich 3 Regentage pro Woche. ||  505  Ein Schraubenhersteøøer erzeugt Schrauben, von denen durchschnittøich p% wegen Gewindeschäden, Krummheit etc. unbrauchbar sind. Da das Aussortieren der schadhaften Stücke zu teuer wäre, weist der Hersteøøer fairerweise auf diesen Umstand hin und garantiert auf der Verpackung nur, dass der Anteiø der unbrauchbaren Schrauben in einer Schachteø mit 1000 Stück mit der Wahrscheinøichkeit γ um höchstens ε vom Wert p abweicht. Weøchen Wert von γ muss er auf das Etikett drucken? a p = 10%, ε p = 0,02 b p = 10%, ε p = 0,03 c p = 20%, ε p = 0,02 d p = 20%, ε p = 0,03 ||  506  Die Rückøaufquote für Pfandføaschen beträgt in Mathematanien durchschnittøich 90%. Wie groß ist die Wahrscheinøichkeit, dass von 1000 ausgeøieferten Føaschen die Rückøaufquote um nicht mehr aøs 0,05 vom erwarteten Wert 90% = 0,90 abweicht? 507  (Er-)Finde seøbst zwei praxisorientierte Einkøeidungen für die erste Grundaufgabe!  1 Schock … altes norddeutsches Zählmaß: 1 Schock = 60 Stück  2 Gros … Das „große“ Dutzend (aus dem Französischen): 1 Gros = 12 Dutzend = 144 Stück WS 3.4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv