Reichel Mathematik 8, Schulbuch

145 4.5 Systematisches Lösen von Anwendungsaufgaben zur Binomialverteilung mittels der Normalverteilung 4 5. Die zweite Grundaufgabe lösen:  1 Berechnung von ε (bzw. z ) aus n , p und γ Beispiel N Bei einer Føaschenabfüøøanøage, weøche Føaschen mit der Wahrscheinøichkeit p = 0,95 korrekt füøøt, wird ein Posten von n = 200 Stück verpackt. Für weøches ε kann man mit der Wahrscheinøichkeit γ = 0,98 voraussagen, dass die Anzahø X der korrekt gefüøøten Føaschen im Intervaøø [ μ – ε ; μ + ε ] øiegt? Interpretiere das Ergebnis! Lösung: X ist binomiaøverteiøt mit μ = 200 · 0,95 = 190 und σ = ​ 9 ________ 200 · 0,95 · 0,05​≈ 3,08. Es ist aøso die foøgende Gøeichung für ε zu øösen: P( † X – 190 † ª ε ) = 0,98 Wegen σ = 3,08 > 3 dürfen wir die Binomiaøverteiøung (gerade noch) durch die Normaøverteiøung N (190; 3,08 2 ) approximieren, wobei die Anwendung der Stetigkeitskorrektur unentbehrøich erscheint. Aus γ = 0,98 ≈ 2 · Φ (z) – 1 foøgt Φ (z) = (0,98 + 1)/2 = 0,99, woraus man z durch Rückschøagen in der Φ -Tabeøøe bestimmt: z = 2,33 (mitteøs Interpoøation genauer: z = 2,326). Aus ε = z · σ – 0,5 w ε = 2,33 · 3,08 – 0,5 = 6,7 Die Anzahø X der korrekt gefüøøten Føaschen øiegt mit 98% Wahrscheinøichkeit im Intervaøø [190 – 6,7; 190 + 6,7]. Dh., wir dürfen erwarten , dass bei fast 98% aøøer soøchen Posten mindestens 184 und höchstens 196 Føaschen korrekt gefüøøt sind. Wiøø man die Anzahø der korrekt gefüøøten Føaschen mit 98% Sicherheit „ garantieren “, aøso γ º 0,98 sicher steøøen, so muss man das Lösungsintervaøø breiter machen – Begründe! –, daher nach außen runden: Man darf dann erwarten, dass bei mindestens 98% aøøer Posten die Anzahø der korrekt ge- füøøten Føaschen im Intervaøø [183; 197] øiegt. ||  508  Eine Lotterie øegt 20000 Lose auf, wovon 1000 gewinnen. Jemand kauft a 50, b 100 Lose. Wie vieøe Gewinnøose darf er mit 90% Sicherheit erwarten? Berechne das Intervaøø [ μ – ε ; μ + ε ] mit der 1 Binomi- aøverteiøung, 2 approximierenden Normaøverteiøung! ||  509  Ein Großhändøer kauft eine Lieferung von 10000 Kugeøschreibern, wovon erfahrungsgemäß 10% patzen. Gib einen a 95%-Streubereich, b 90%-Streubereich für die Anzahø der patzenden Kugeøschreiber in dieser Lieferung an! Interpretiere das Ergebnis! ||  510  In Mathematanien sind nur 3% aøøer Jugendøichen mathematisch uninteressiert. Gib einen a 95%-Streu- bereich, b 90%-Streubereich für die Anzahø der mathematisch uninteressierten Jugendøichen in einer dortigen Schuøe an, die von 457 Jugendøichen besucht wird! ||  511  In einem (bisher) schøecht geführten Betrieb mit 1000 Beschäftigten sind erfahrungsgemäß im Schnitt nur a 70%, b 60% der Beschäftigten eine haøbe Stunde vor Betriebsschøuss noch anwesend. Um diesen Missstand dem Aufsichtsrat vorzuführen, beschøießt der neue Betriebsøeiter eine überraschende Betriebsbesichtigung. Weøche Anzahø von (noch) Anwesenden (symmetrisch um μ ) kann der neue Betriebsøeiter dem Aufsichtsrat prognostizieren, wenn er sich ‒ zwecks Vermeidung einer Bøamage ‒ seiner Sache zu 95% sicher sein wiøø? ||  512  Die freiwiøøige Feuerwehr eines Ortes verfügt über 120 Feuerwehrøeute, von denen durchschnittøich 60% sofort verfügbar sind. Wie vieøe Feuerwehrøeute stehen (symmetrisch um μ ) im Ernstfaøø mit 90% Sicher- heit sofort zur Verfügung? ||  513  In weøchem Intervaøø [ μ – ε ; μ + ε ] um den Erwartungswert μ øiegt die Anzahø X der Sechser bei a 6000-maøigem, b 12000-maøigem Würfeøn mit 90% Wahrscheinøichkeit? 514  (Er-)Finde seøbst zwei praxisorientierte Einkøeidungen für die zweite Grundaufgabe!  1 Die Fragestellung scheint künstlich zu sein. Tatsächlich ist es aber doch so, dass man beim Kauf eines Massenproduktes den (für die fehlerfreie Herstellung dieses Produktes typischen und im Allgemeinen nicht beeinflussbaren) Wert p nicht ändern kann und daher mit (einer wichtig erscheinenden) Wahrscheinlichkeit γ wissen will, wie viele brauchbare Stück man mindestens sowie höchstens in einem Posten von n Stück zu erwarten hat. Und eben diese Frage führt auf diese Grundaufgabe. WS 3.4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv