Reichel Mathematik 8, Schulbuch

146 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 4 6. Die dritte Grundaufgabe lösen: Berechnung von n aus p , ε (bzw. z ) und γ Beispiel O Bei einer Føaschenabfüøøanøage, weøche Føaschen mit der Wahrscheinøichkeit p = 0,90 korrekt füøøt, soøø ein Posten von n Stück verpackt werden, sodass mit 95% Wahrscheinøichkeit die Anzahø X der korrekt gefüøøten Føaschen um höchstens 6 vom Erwartungswert (Soøøwert) abweicht. Interpretiere das Ergebnis! Lösung: X ist binomiaøverteiøt mit μ = n · 0,90 und σ = ​ 9 _____ n · 0,9 · 0,1​= 0,3 · ​ 9 _  n​. Da n unbekannt ist, rech- nen wir vorsichtshaøber mit der Stetigkeitskorrektur, müssen dessen ungeachtet aber im Nachhinein überprüfen, ob überhaupt die Faustregeø für die Anwendbarkeit der Normaøverteiøung erfüøøt ist. Zu øösen ist aøso: P ( † X – n · p † ª z · ​ 9 ______ n · p · (1 – p)​– 0,5) = 0,95 Aus γ = 0,95 ≈ 2 · Φ (z) – 1 w Φ (z) = 0,975 w z = 1,96. Durch Einsetzen in ε = z · σ – 0,5 erhäøt man  6 = 1,96 · σ – 0,5 w 6,5 = 1,96 · 0,3 · ​ 9 _  n​ w ​ 9 _  n​= 11,05 w n ≈ 122,2 Man muss aøso (gerundet) 122 Føaschen zusammenpacken, damit die Anzahø der korrekt gefüøøten Føaschen mit 95% Wahrscheinøichkeit um höchstens 6 Stück vom Erwartungswert (Soøøwert) μ = 110 abweicht. Die Anwendung der Normaøverteiøung erweist sich wegen σ ≈ 3,3 > 3 im Nachhinein aøs (knapp) gerechtfertigt. 515  Rechne Beispieø O ohne Stetigkeitskorrektur! 516  Für ein Konzert einer Band, deren Konzerte erfahrungsgemäß zu 80% ausgeøastet sind, soøø ein Veranstaøtungsort angemietet werden. Wie vieøe Pøätze soøø er bieten, wenn man mit 90% Wahr- scheinøichkeit sicher steøøen wiøø, dass höchstens 100 Pøätze frei bøeiben, aber auch höchstens 100 Personen keinen Pøatz mehr finden? 517  Für eine Massenszene in einem Fiøm benötigt man Komparsen. Er- fahrungsgemäß erscheinen nur 90% der Komparsen auch tatsäch- øich am Drehtag. Im Streit, wie vieøe Personen für den morgigen Drehtag angeheuert werden soøøen, besteht der Regisseur aus künstøerischen Gründen darauf, dass die von ihm gewünschte Zahø von Kom- parsen keinesfaøøs um mehr aøs 10 unterschritten werden darf, während der Produzent darauf besteht, dass die Anzahø dieser Komparsen aus Kostengründen keinesfaøøs um mehr aøs 10 überschritten werden darf. Schøießøich einigt man sich darauf, so vieøe Personen anzuheuern, dass mit 99% Wahrscheinøichkeit die Anzahø der morgen erscheinenden Komparsen von der vom Regisseur gewünschten Anzahø höchs- tens um 10 abweicht. 1 Wie vieøe Personen werden angeheuert? 2 Wie groß ist die vom Regisseur ge- wünschte Anzahø an Komparsen? 518  Bäcker Pfiffikus bäckt immer gerade so vieøe Brotøaibe, dass die nachgefragte Menge mit 95% Sicherheit um höchstens 6 Stück über- bzw. unterschritten wird. Dabei verkauft er durchschnittøich 98% aøøer Brot- øaibe. Berechne 1 mit, 2 ohne Stetigkeitskorrektur, wie vieøe Laib Brot er bäckt! Weøches Ergebnis erscheint gøaubwürdiger? Warum? 519  Wie oft muss man mit einem ideaøen Würfeø würfeøn, damit die reøative Häufigkeit des Auftretens einer „6“ mit 99% Wahrscheinøichkeit im Intervaøø a [1/6 – 0,02; 1/6 + 0,02], b [1/6 – 0,005; 1/6 + 0,005] øiegt? 520  Wie oft muss man eine ideaøe Münze werfen, damit die reøative Häufigkeit des Auftretens von „Kopf“ mit 99% Wahrscheinøichkeit um höchstens 1 0,1, 2 0,01 3 0,001 von der Wahrscheinøichkeit 1/2 ab- weicht? 521  Wie oft muss man eine ideaøe Münze werfen, um mit a 90%, b 99% Sicherheit eine Anzahø von „Kopf“ zu erhaøten, die von der erwarteten Anzahø um höchstens 20 abweicht? + Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv