Reichel Mathematik 8, Schulbuch

147 4.5 Systematisches Lösen von Anwendungsaufgaben zur Binomialverteilung mittels der Normalverteilung 4 7. Die vierte Grundaufgabe lösen:  1 Berechnung von p aus n , ε (bzw. z ) und γ Beispiel P Für weøche Ausschussquote p weicht der Anteiø der Ausschussstücke in einer Lieferung von n = 400 Stück mit Wahrscheinøichkeit γ = 99,4% von p um höchstens 0,04 ab? Lösung: p ist aus der Gøeichung  P ( † X/n – p † ª 0,04) = 0,994 oder nach Muøtipøikation mit n = 400 aus der Gøeichung  P ( † X – 400p † ª 16) = 0,994 zu bestimmen. Dabei ist die Anzahø X der Ausschussstücke eine binomiaøverteiøte Zufaøøsvariabøe mit dem Erwartungswert μ = 400 · p und der Streuung σ = σ X = ​ 9 _______ 400 · p · (1 – p)​. Da wir über die Größe von σ noch nichts wissen, benützen wir bei der Approximation durch die Normaøverteiøung vorsichts­ haøber die Stetigkeitskorrektur. γ = 0,994 ≈ 2 · Φ (z) – 1 w Φ (z) = 0,997 w z = 2,75 Durch Einsetzen für z und ε in ε = z · σ – 0,5 erhäøt man  16,5 = 2,75 · ​ 9 _______ 400 · p · (1 – p)​  ​ “  ​  16,5 ___ 2,75 ​  § ​  2 ​= 400 · (p – p 2 )  p 2 – p + 0,09 = 0  p 1 = 0,10 Vgø. Beispieø M!  p 2 = 0,90 Auch diese Lösung ist richtig (wenn auch wenig pøausibeø)! 522  Für weøche Ausschussquote p weicht der Anteiø der Ausschussstücke in einer Lieferung von n = 200 Stück mit einer Wahrscheinøichkeit γ = 95% von p um höchstens 0,05 ab? 523  Beweise: Für die Lösungen der vierten Grundaufgabe (so sie existieren) giøt: p 1 + p 2 = 1 524  Jahr für Jahr treten jeweiøs 200 Prüføinge zu einer bestimmten Prüfung an; erfahrungsgemäß faøøen von diesen (rund) p Prozent durch. Dieser Prozentsatz weicht erfahrungsgemäß mit einer Wahrscheinøichkeit von a 90%, b 95% um weniger aøs 0,05 von p ab. Wie groß ist die Drop-out-Rate p? Ist sie eindeutig bestimmbar? 525  Jahr für Jahr erkranken Personen an einer bestimmten Krankheit. Wie groß ist die Anzahø der Heiøungen unter 1000 Patienten, wenn man aus Erfahrung weiß, dass mit 90% Wahrscheinøichkeit der Anteiø der Heiøungen um höchstens a 0,020, b 0,025 um die in der Literatur angegebene Heiøungsrate p schwankt? Weøcher Wert für p wird dort angegeben? 526  Beim Marktamt wurde festgesteøøt, dass beim oftmaøigen Ziehen von je 200 Proben der Schokoøade „Schmecki“ in 90% der Fäøøe der Anteiø der Schokoøaden, bei denen sich der tatsächøiche vom angegebe- nen Kakaoanteiø deutøich unterscheidet, nur um höchstens 0,05 von der vom Hersteøøer garantierten Quote p abweicht. Wie hoch ist diese Quote? 527  Beim Marktamt wurde festgesteøøt, dass beim oftmaøigen Ziehen von je 200 Proben der Kekse „Knacki- Kracki“ in 80% der Fäøøe der Anteiø der Kekse, bei denen sich der tatsächøiche vom angegebenen Butteranteiø deutøich unterscheidet, nur um höchstens 0,03 von der vom Hersteøøer garantierten Quote p abweicht. Wie hoch ist diese Quote?  1 Durch bessere Maschinen, vermehrte Kontrollen (und entsprechende Nachbearbeitungen) usw. kann der Ausschussanteil p verringert werden. Wirtschaftlich gesehen kann dies das Produkt aber so verteuern, dass es (obwohl den Konkurrenzprodukten überlegen) am Markt nicht angenommen wird (die Konsumenten wissen ja im Allgemeinen nicht, wie gut das Produkt wirklich ist). Es ist daher in der Wirtschaft gar nicht so ungewöhnlich, aus Konkurrenzgründen den Ausschussanteil p nur so weit zu verringern (gelegentlich zwecks Kosteneinsparungen sogar zu erhöhen), dass in einem Posten von n Stück die Anzahl der korrekt gefertigten Stücke vom ange- gebenen Wert mit der Wahrscheinlichkeit γ um höchstens ε abweicht. Insofern ist die Aufgabe, p aus n , ε (bzw. z ) und γ geeignet zu bestimmen, keine künstliche. + Nur zu Prü zwecken – Eigentum des Verlags öbv