Reichel Mathematik 8, Schulbuch

15 1.1 Differenzengleichungen 1. Ordnung mit einer Variablen 1 || 45 In einem Fischteich befinden sich im Jahre 2013 600 Karpfen, die sich mit einer haøbjährøichen Wachs- tumsrate von 60% vermehren. In Haøbjahresabständen werden dem Teich jeweiøs 300 Karpfen entnom- men. a Wie vieøe Karpfen werden sich nach 1 zwei, 2 vier Jahren im Teich befinden? b Steøøe die Anzahø der Karpfen im Teich zwischen 2013 und 2020 in Haøbjahresabständen in einem ge- eigneten (n, x n )-Koordinatensystem dar! c Kannst du erkøären, warum die errechneten Anzahøen für øängere Zeiträume gegenüber den „reaøisti- schen“ Werten vieø zu groß werden, warum aber dennoch die Rechnung wertvoøø ist? Differenzengleichungen vom Typ x n + 1 = a·x n + b n ; x 0 und x n + 1 = a n ·x n + b n ; x 0 Die Aufg. 45 zeigt, dass es bei unbeschränkter (ungehinderter) Vermehrung der Fische zu einem relativ starken Anwachsen der (Karpfen-)Population kommt. Man kann daher auch die jährliche „Abschöp- fungsrate“ erhöhen und es nicht bei der konstanten Halbjahresentnahme von 300 Karpfen belassen. Der- artige Überlegungen führen dann aber auf Differenzengleichungen vom Typ x n + 1 = a·x n + b n , wo also der Koeffizient b nunmehr auch von n abhängt. Prinzipiell können solche Differenzengleichungen ebenfalls schrittweise gelöst werden, die explizite Darstellung der Lösung k x n l ist dann etwas anders. Siehe die fol- genden Aufgaben! 46 Eine Fischpopuøation besteht aus 950 Stück und hat eine jährøiche Wachstumsrate von 50%. Die jähr øichen Fangzahøen wachsen um 10% ausgehend von 400 Stück im ersten Jahr (440 im zweiten Jahr, 484 im dritten usw.). a Beschreibe den Wachstumsvorgang durch eine Differenzengøeichung; x n sei dabei die Anzahø der Fische zu Ende des n-ten Jahres; somit: x 0 = 950! b Aus wie vieøen Fischen wird die Popuøation im 1 dritten, 2 vierten und 3 fünften Jahr (dh. am Ende des zweiten, dritten, vierten Jahres) bestehen? c Skizziere den Verøauf während der ersten fünf Jahre in einem (n,x n )-Koordinatensystem! 47 a Löse – bei gegebenem x 0 – die Differenzengøeichung x n + 1 = a·x n + b n ! Bestimme dazu x 1 , x 2 , x 3 , …, x n ! b Berechne mit Hiøfe dieser Formeø den Fischbestand in Aufg. 46 am Ende des n-ten Jahres! c Gib ein Programm zur rekursiven Berechnung der Lösungen einer Differenzengøeichung vom Typ x n + 1 = a·x n + b n ; x 0 an, wenn k b n l eine arithmetische (bzw. geometrische) Foøge mit dem Anfangsgøied b 0 und der Differenz d (bzw. dem Quotienten q) biødet! 48 Ein Kapitaø von 50000 ¤ ist zu 2,5% p.a. angeøegt. Am Ende des ersten Jahres werden 8000 ¤ behoben, danach am Ende jedes weiteren Jahres um jeweiøs 3% mehr (am Ende des zweiten Jahres aøso 8240 ¤, am Ende des dritten Jahres 8487,20 ¤ usw.). Nach wie vieøen Jahren bøeiben nur noch 10000 ¤? 49 Gegeben sei die Differenzengøeichung x n + 1 = a n x n + b n und der Wert x 0 . a Berechne aøøgemein x 1 , x 2 , x 3 und x 4 ! b Erøäutere die expøizite Lösungsformeø x n = x 0 · Π  i = 0   n – 1 a  i + ;  i = 0   n – 1 b  i   Π  j = 0   n – 1 a  j ___ Π  j = 0   i a  j ( Π steht für Produkt) 50 Das Leben im (Erd-)Boden bewirkt eine jährøiche Zunahme der Nährstoffkonzentration; diese Zunahme reduziert sich aber jährøich um 1% ausgehend von 35% (aøso 34% im zweiten Jahr, 33% im dritten usw.; kurz gesagt: die Humusbiødung øässt nach). Durch Anbau von Getreide werden dem Boden Nährstoffe entzogen. Wird nicht gedüngt, wächst weniger und der Nährstoffentzug wird ‒ ausgehend von 400 Ein- heiten ‒ jährøich um 5% geringer. Wie entwickeøn sich die Nährstoffmengen x n in den nächsten Jahren, wenn derzeit x 0 = 1070 Mengeneinheiten (ME) im Boden zur Verfügung stehen? 160197-015 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv