Reichel Mathematik 8, Schulbuch

151 4.6 Testen von Hypothesen bei gegebenem Ablehnungsbereich 4 5. Die Begriffe einseitiger und zweiseitiger Test verstehen Der Ablehnungsbereich K muss nicht – wie in Beispiel Q – in Form eines α -Antistreubereiches zwei­ seitig um den Erwartungswert liegen; man spricht hier von einem zweiseitigen Test. Der Ablehnungs­ bereich kann auch (mehr oder weniger willkürlich) nur linksseitig oder nur rechtsseitig vom Erwar- tungswert gewählt werden. Der Käufer einer Ware wird vernünftigerweise nur dann die Ware zurückschicken wollen, wenn die An- zahl X der Ausschussstücke größer ist als vom Produzent angegeben, also wenn X > x 2 ; man spricht dann von einem rechtsseitigen Test . Zählt die Zufallsvariable X die Anzahl der „guten“ Stücke, so schickt der Käufer die Ware vernünftiger- weise nur dann zurück, wenn X kleiner ist als vom Produzent versprochen, also wenn X < x 1 ; man spricht dann von einem linksseitigen Test . Welchen Test man auch anwendet, die Irrtumswahrscheinlichkeit α ist (unter vorausgesetztem H ) stets die Summe der Wahrscheinlichkeiten P (X = x) mit x * Ablehnungsbereich K . Wann immer es möglich ist (Faustregel: σ > 3 ), approximiert man dabei die Binomialverteilung durch die passende Normalvertei- lung. Dies erleichtert sowohl die Rechnung als auch die Vorstellung . Erøäutere! Einseitiger Test Zweiseitiger Test linksseitiger Test α øi = α rechtsseitiger Test α re = α α øi = α /2 und α re = α /2 Behauptung: p = p 1 Behauptung: p = p 1 Behauptung: p = p 1 Vermutung: p < p 1 Vermutung: p > p 1 Vermutung: p ≠ p 1 p ist kleiner als behauptet p ist größer als behauptet p ist ungleich der Behauptung Nicht immer ist es klar, welche Art von Test man anwenden soll. Im Zweifelsfall testet man (wie zB im Beispiel Q) zweiseitig. In jedem Fall sollte man jedoch angeben, wie man getestet hat! Beispiel R Ein Losverkäufer behauptet, dass 30% der in der Gøückstrommeø vorhandenen Lose Gewinnøose seien. Wir woøøen seine Behauptung gøauben, wenn bei 50 Ziehungen nicht weniger aøs 10 Gewinn­ øose gezogen werden, sonst woøøen wir seine Behauptung zurückweisen. Mit weøcher Irrtumswahr- scheinøichkeit α geschieht dies? Weøcher Test øiegt vor? Warum dieser? Lösung: Die zu verwerfende Hypothese øautet H: p = 0,3. Für den kritischen Bereich wähøen wir K = {0;1; … ;9}, womit ein øinksseitiger Test vorøiegt. Der Grund für diese Wahø øiegt darin, dass wir den Faøø p > 0,3 aøs absurd betrachten (der Losverkäufer würde sich seøbst schaden), während wir den Faøø p < 0,3 aøs denkbar erachten (weiø er dem Losverkäufer nützt). Die Irrtumswahrscheinøichkeit α kann entweder aus der Tabeøøe im Lehrbuch der 7. Køasse, S. 267 aøs α = P (X ª 9) = 0,04023 abgeøesen oder mitteøs der approximierenden Normaøverteiøung berechnet werden: μ = n · p = 50 · 0,3 = 15, σ = ​ 9 ____  n · p · q​= ​ 9 ______ 50 · 0,3 · 0,7​≈ 3,24 > 3 Gemäß der integraøen Näherungsformeø mit Stetigkeitskorrektur erhaøten wir α = P (X ª 9) = P (0 ª X ª 9) = Φ  ​ “  ​  9,5 – 15 _____ 3,24  ​  § ​– Φ​ “  ​  ‒0,5 – 15 ______ 3,24  ​  § ​= Φ (‒1,698) – Φ (‒4,784) = = (1 – Φ (1,698)) – ( 1 – Φ (4,784)) = (1 – 0,955) – (1 – 1) = 0,045 = 4,5% F  4.18 Fig. 4.18a μ α Fig. 4.18b μ α Fig. 4.18c μ α 2 α 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv