Reichel Mathematik 8, Schulbuch

155 4.7 Testen von Hypothesen bei gegebener Irrtumswahrscheinlichkeit 4 Beispiel S Bei der Erzeugung eøektrischer Bauteiøe wie zB Transistoren ist Ausschuss unvermeidøich. Die Hypo- these H: „Ausschuss wird mit der Wahrscheinøichkeit p = 0,3 produziert“ soøø auf dem 95%-Signi­ fikanzniveau mitteøs einer Stichprobe vom Umfang n = 80 1 rechtsseitig, 2 øinksseitig, 3 zweiseitig getestet werden. Weøche Verteiøung soøø man für die Anzahø X der fehøerhaften Stücke zugrunde øegen? Wie ist der Abøehnungsbereich jeweiøs festzuøegen? 4 Ist hier ein einseitiger oder zwei­ seitiger Test dem Probøem angemessener? Begründe! Lösung: Von der Theorie her handeøt es sich um eine Stichprobenentnahme ohne Zurückøegen, sodass X hypergeometrisch verteiøt ist (vgø. Buch 7. Kø. S. 256). Wegen der Køeinheit der Stichprobe gegen- über der Gesamtproduktion dürfen wir jedoch so tun, aøs zögen wir mit Zurückøegen, womit X der (deutøich einfacher zu handhabenden) Binomiaøverteiøung foøgt. Wegen σ = ​ 9 ______ 80 · 0,3 · 0,7​≈ 4,1 > 3 dürfen wir die Binomiaøverteiøung durch die (noch einfacher zu handhabende) Normaøverteiøung N ( μ ; σ 2 ) mit μ = 80 · 0,3 = 24 und σ = 4,1 annähern, wobei wir mit Stetigkeitskorrektur arbeiten. Mitteøs der Φ -Tabeøøe finden wir durch Rückschøagen und „Ent-Standardisieren“ foøgende Antworten auf die obigen Fragen: 1 α = 0,05 = 1 – Φ (z) w z = 1,645 = ​  x – 0,5 – μ ______ σ  ​w x – 0,5 = 24 + 1,645 · 4,1 w x = 31,2 Für die Zufaøøsvariabøe X NV ergibt sich somit der kritische Bereich K NV = [31,2; • [. Da X jedoch eine diskrete Zufaøøsvariabøe ist, ist es besser K durch Angabe aøø jener diskreten Werte von X festzu­ øegen, die in das Intervaøø [31,2; • [ faøøen, aøso durch K = {32; 33; … ; 80}.  1 Fäøøt das Testergebnis in diesen kritischen Bereich K, so sagt man: Das Testergebnis ist signifikant dafür, dass die Hypothese H: p = 0,3 faøsch ist, oder genauer: H kann mit einer Irrtumswahr- scheinøichkeit von 5% verworfen werden. 2 α = 0,05 = Φ (z) w z = 1,654 = ​  x + 0,5 – μ ______ σ  ​w x + 0,5 = μ – 1,645 · σ w x = 16,8 w K = {0; 1; … ; 16} 3 α /2 = 0,025 = Φ (z) w z 1 = ‒1,96 = ​  ​x​  1 ​+ 0,5 – μ _______ σ  ​w x 1 + 0,5 = μ – 1,96 · σ w x 1 = 15,5 α /2 = 0,025 = 1 – Φ (z) w z 2 = 1,96 = ​  ​x​  2 ​– 0,5 – μ _______ σ  ​w ​x​  2 ​– 0,5 = μ + 1,96 · σ w x 2 = 32,5 w w K = {0; … ; 15} ± {33; … ; 80} 4 Da in die Produktion nur dann eingegriffen werden muss , wenn der Ausschussanteiø p signifikant größer aøs 0,3 ist, øiegt es nahe, rechtsseitig zu testen; dh., nur dann, wenn die Anzahø der Aus- schussstücke in der Stichprobe º 32 ist, wird die Hypothese H: p = 0,3 verworfen. 551  Kann ein neugeborenes Küken Körner an ihrer runden Form erkennen oder øernt es dies erst aus Er­ fahrung? Um die Frage zu entscheiden, werden Küken gøeich vieøe runde und dreieckige kornfarbene Papierstücke vorgesetzt, von denen die Küken insgesamt 160 Stück picken. Wie ist der Abøehnungs­ bereich für einen 1 øinksseitigen, 2 rechtsseitigen, 3 zweiseitigen Test zu wähøen, um ein a signifi­ kantes, b hochsignifikantes Ergebnis zu erhaøten? Soøø man hier besser einseitig oder zweiseitig testen? Begründe! Rechne ohne Stetigkeitskorrektur!  1 Beachte, dass nunmehr P(X * K) nicht mehr genau α ist. Wir vernachlässigen – wie in der Praxis üblich – diese Abweichung. ( ) x 0 10 15,5 32,5 0,1 33 32 15 16 y = 1 4,1 . 2 π . e 1 2 x–24 4,1 ‒ 2 f(x) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verla s öbv