Reichel Mathematik 8, Schulbuch

158 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 4 Testen von Alternativhypothesen 1. Den Begriff Alternativhypothese verstehen Bisher haben wir aufgrund einer Stichprobe eine Hypothese – zB H: p = 0,1 – angenommen bzw. abge- lehnt. Mit anderen Worten: Wir haben der Gegenhypothese – p ≠ 0,1 (zweiseitiger Test) oder p < 0,1 bzw. p > 0,1 (einseitiger Test) – aufgrund des Stichprobenergebnisses weniger bzw. mehr Glauben ge- schenkt.  1 Aufgrund des Stichprobenergebnisses kann man nun aber auch eine Alternativhypothese  2 (Konkur- renzhypothese) aufstellen, im obigen Beispiel statt p = 0,1 etwa p = 0,3 . (ZB kann der Ausschussanteil in der Stichprobe als Punktschätzung des Ausschussanteils in der Gesamtproduktion zu dieser neuen Hypothese führen.) Zwecks Unterscheidung nennen wir die (ursprüngliche) Hypothese nunmehr Null- hypothese H 0 statt H und die Gegen- bzw. Alternativhypothese H 1 . Für die Entscheidung zwischen den beiden konkurrierenden Hypothesen H 0 und H 1 bestehen grundsätz- lich folgende Möglichkeiten: Entscheidung/Faktum H 0 ist wahr H 1 ist wahr H 0 wird verworfen (daher H 1 angenommen) Entscheidung ist falsch H 0 wird zu Unrecht verworfen Fehler 1. Art Irrtumswahrscheinlichkeit α Entscheidung ist richtig H 1 wird verworfen (daher H 0 angenommen) Entscheidung ist richtig Entscheidung ist falsch H 1 wird zu Unrecht verworfen Fehler 2. Art Irrtumswahrscheinlichkeit β Fig. 4.21 veranschaulicht den (Zusammenhang zwischen) α - und β -Fehler. Erøäutere! Begründe anhand von Fig. 4.21, warum nur bei Vorøiegen einer echten Aøternativhypothese H 1 : p = p 1 (wie im foøgenden Beispieø T) die Irrtumswahrscheinøichkeit β berechnet werden kann, nicht jedoch bei Vorøiegen einer Gegenhypothese H 1 : p ≠ p 1 oder H 1 : p > p 1 oder H 1 : p < p 1 (wie in Beispieø S )! Begründe anhand von Fig. 4.21, warum es bei festen n, H 0 und H 1 unmögøich ist, beide Fehøer beøiebig køein zu machen! Was bedeutet dies für die praktische Anwendung des Testens von Aøternativhypo- thesen ?  1 Beachte: Der Begriff „Gegenhypothese“ ist eigentlich nur im Fall p ≠ 0,1 angebracht, weil die Aussage p ≠ 0,1 das logische Gegenteil (die Negation) der Aussage p = 0,1 ist, nicht jedoch in den Fällen p > 0,1 bzw. p < 0,1 .  2 Wir wollen den Begriff „Alternativhypothese“ nur in dem (engeren) Sinn verwenden, wo die Alternativhypothese einer Punktschätzung entspringt. 4.8 Fig. 4.21 x 0 Entscheidung gegen H 0 Entscheidung für H 0 f(x) α β S  155 A  579 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv