Reichel Mathematik 8, Schulbuch

159 4.8 Testen von Alternativhypothesen 4 Beispiel T Der Anbieter der Strumpfmarke „Makeøøos“ behauptet (Hypothese H 0 ), dass 49 von 50 Strümpfen makeøøos seien. Ein Konkurrent behauptet dagegen (Hypothese H 1 ), dass 3% dieser Strümpfe Lauf­ maschen, Webfehøer etc. enthieøten. Die Zeitschrift „Konsument“ testet 250 Paar (aøso 500) Strümpfe. 1 Wo muss die Abøehnungsgrenze c für H 0 gezogen werden, wenn die Zeitschrift ausschøießøich signifikante Ergebnisse veröffentøicht? 2 Wie groß ist die Irrtumswahrscheinøichkeit β dieses Tests? 3 Wie øautet die Entscheidung, wenn 15 mangeøhafte Strümpfe vorgefunden werden? 4 Veranschauøiche die Situation! Lösung: Es sei X die Anzahø der mangeøhaften Strümpfe unter n = 500 Strümpfen: X ist binomiaø­ verteiøt mit den Parametern n und p. Da es sich um eine signifikante Aussage handeøn soøø, ist der α -Fehøer 0,05. 1 H 0 behauptet p = 1/50 = 2%: μ 0 = 500 · 0,02 = 10, σ 0 = ​ 9 ________ 500 · 0,02 · 0,98​≈ 3,13; wegen σ 0 > 3 dürfen wir die Binomiaøverteiøung durch die zugehörige Normaøverteiøung N (10; 3,13 2 ) approximieren, wobei wir ohne Stetigkeits­ korrektur arbeiten. Unter der Hypothese H 0 giøt daher: P (X º c) = α = 0,05 w P (X ª c) = 0,95 = P (Z ª z) = Φ (z) w z = 1,645 = ​  c – 10 ____  3,13  ​ w c = 15,15 Für H 0 erhäøt man daher den Abøehnungsbereich K 0 = {16; 17; … ; 500}. 2 H 1 behauptet p = 3%: μ 1 = 500 · 0,03 = 15; σ 1 = ​ 9 ________ 500 · 0,03 · 0,97​≈ 3,81 Wegen σ 1 > 3 dürfen wir die Binomiaøverteiøung durch die Normaøverteiøung N (15; 3,81 2 ) approxi- mieren, wobei wir ohne Stetigkeitskorrektur rechnen. Unter der Hypothese H 1 ergibt sich: β = P (X + K 0 ) = P (X ª 15) = P ​ “  Z ª ​  15 – 15 ____ 3,81  ​  § ​= P (Z ª 0) = Φ (0) = 0,5 3 Aufgrund des Stichprobenergebnisses x = 15 kann man H 0 nicht signifikant verwerfen. Mit anderen Worten: Man muss (aufgrund der Vorgabe α = 0,05) den Angaben des Hersteøøers weiter- hin mehr Gøauben schenken aøs den Angaben des Konkurrenten, obwohø das Stichprobenergebnis hier sogar mit dem vom Konkurrenten angegebenen Erwartungswert übereinstimmt. Dies findet seinen Niederschøag in der sehr großen Irrtumswahrscheinøichkeit β . 4 571  Berechne den α - und β -Fehøer für den Test der Hypothese H 0 : p 0 = 0,2 gegen die Hypothese H 1 : p 1 = 0,25 mitteøs 1 der Tabeøøen für die Binomiaøverteiøung (Buch 7. Kø. S. 266ff), 2 der approximierenden Normaø- verteiøung ohne Stetigkeitskorrektur, 3 der approximierenden Normaøverteiøung mit Stetigkeitskorrektur, wenn die Abøehnungsgrenze von H 0 für n = 100 bei a c = 22, b c = 23 øiegt! 572  Berechne den α - und β -Fehøer für den Test der Hypothese H 0 : p 0 = 0,4 gegen die Hypothese H 1 : p 1 = 0,6 mitteøs 1 der Tabeøøen für die Binomiaøverteiøung (Buch 7. Kø. S. 266ff), 2 der approximierenden Normaø- verteiøung ohne Stetigkeitskorrektur, 3 der approximierenden Normaøverteiøung mit Stetigkeitskorrektur für a n = 50 und den kritischen Bereich K 0 = {25; 26; …; 50}, b n = 100 und K 0 = {50; 51; …; 100}! α β x f(x) 0,1 0 μ 0 = 10 μ 1 = 15 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv