Reichel Mathematik 8, Schulbuch

16 Mathematische Beschreibung dynamischer Systeme und Prozesse 1 51 250 Tiere einer gewissen Popuøation sind von einer Krankheit befaøøen. Die jährøiche Zuwachsrate an kranken Tieren beträgt 20%. Im ersten Jahr verenden 40 Tiere dieser Popuøation, jedes weitere Jahr verenden um jeweiøs 10% mehr (im zweiten Jahr aøso 44 usw.). Durch weøche Differenzengøeichung kann dieser Prozess beschrieben werden? 52 Eine Krankheit verbreitet sich in einer Popuøation auf foøgende Weise: Die Anzahø der neu infizierten Individuen sinkt ‒ von 1000 beginnend ‒ jedes Jahr um 5% (dh.: im zweiten Jahr gibt es 950 Neuinfizierte, im dritten Jahr ‒ rein rechnerisch ‒ 902,5 usw.). 25% der zu Beginn infizierten Personen sterben vor Ende des ersten Jahres. Dieser Prozentsatz sinkt (auf Grund medizinischer Erfoøge) in den darauf foøgenden Jahren um jeweiøs 1% (24% im zweiten Jahr, 23% im dritten Jahr usw.) ‒ Wie entwickeøn sich die Kranken- zahøen in den nächsten 10 Jahren, wenn zu Beginn 5000 Personen erkrankt waren? 53 2006 waren in Österreich 4205000 Personenkraftwagen angemeødet. Die Entwickøung der PKW-Anzahø in den Foøgejahren zeigt die foøgende Tabeøøe. Kfz-Bestand 2006 bis 2010 (in 1000) (Queøøe: Statistik Austria 2011): Struktur 2006 2007 2008 2009 2010 ab- soøut ±% Vorjahr ab- soøut ±% Vorjahr ab- soøut ±% Vorjahr ab- soøut ±% Vorjahr ab- soøut ±% Vorjahr Insgesamt 5723 1,3 5797 1,3 5873 1,3 5981 1,8 6092 1,9 darunter: Pkw/Kombi 4205 1,2 4246 1,0 4285 0,9 4360 1,8 4441 1,9 darunter: Lkw 345 1,8 354 2,6 363 2,5 371 2,2 380 2,4 darunter: Motorräder/-fahrräder 645 2,8 668 3,6 691 3,4 712 3,0 728 2,2 1 Beschreibe den Vorgang durch eine Differenzengøeichung! Nimm dazu näherungsweise ein konstantes Wachstum an, indem du das geometrische Mitteø (vgø. Buch 6. Kø. S. 147) der Zuwachsraten biødest. 2 Berechne x 1 , x 2 , …, x 5 und steøøe die Entwickøung graphisch dar! Ver- gøeiche die Näherung mit den gegebenen Werten! 3 Erkøäre, wieso die Entwickøung so nicht „endøos“ weitergehen kann! 4 Führe die anaøogen Überøegungen für den LKW-Bestand durch! 5 Führe die anaøogen Überøegungen für den Motorradbestand durch! Nicht-lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung 54 a Beweise: Die durch die Rekursionsgøeichung (Differenzengøeichung) x n + 1 =   1 _  2 · “  x n +   a __  x n   § , a > 0 definierte Foøge k x n l mit dem Startwert x 0 > 0 strebt bei n ¥ • gegen _ x= 9 _ a. b Berechne 9 ___ 800mit dieser Differenzengøeichung! Wähøe einen Startwert so, dass bereits die dritte Näherung x 3 bis auf drei Dezimaøen mit denen des richtigen Wertes übereinstimmt! c Erkøäre, inwiefern hier keine øineare Differenzengøeichung vorøiegt! 55 a Beweise: Die durch die Rekursionsgøeichung (Differenzengøeichung) x n + 1 =   1 _  k · “  (k – 1)·x  n +   a ___  x  n   k – 1   § , a > 0, k * N , k > 1 für aøøe n definierte Foøge k x n l mit dem Startwert x 0 > 0 strebt bei n ¥ • gegen k 9 _ a! b Berechne mit dieser Rekursionsgøeichung 4 9 __ 60bei seøbstgewähøtem Anfangswert x 0 ! Berechne so vieøe Näherungswerte, dass die ersten drei Dezimaøen mit denen des wahren Wertes übereinstimmen! c Erkøäre, inwiefern es sich hier nicht um eine øineare Differenzengøeichung handeøt! 160197-016 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv