Reichel Mathematik 8, Schulbuch

160 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 4 573  Eine Heøøseherin behauptet, mit 70%iger Sicherheit das Geschøecht des Kindes bereits im dritten Schwangerschaftsmonat vorherzusehen. Um ihre Behauptung zu testen, wird foøgende Entscheidungs­ regeø verwendet. Man øässt sie 50 Voraussagen treffen. Wenn sich mindestens 30 Voraussagen bewahr- heiten, wiøø man ihre Behauptung akzeptieren, sonst verwerfen. Berechne mitteøs der 1 Binomiaøver- teiøung, 2 Normaøverteiøung die Wahrscheinøichkeit, dass ihre Behauptung verworfen wird, a wenn die Regeø nicht besser aøs bøoßes Raten ist (dh. p 0 = 0,5), b wenn sie tatsächøich funktioniert (dh. p 1 = 0,7)! 574  Für eine øebensbedrohøiche Krankheit gab es bisher nur das Heiømitteø A, das aøøerdings nur mit der Wahr- scheinøichkeit 0,5 das Leben retten konnte. Ein neues Heiømitteø B wurde entwickeøt. Um es zu testen, wurde es an 130 Patienten auf freiwiøøiger Basis erprobt. Von den 130 Patienten starben 50, woraus man die Hypothese abøeitete, dass B mit einer Wahrscheinøichkeit > 0,5 das Leben rettet. 1 Mit weøcher Irrtumswahrscheinøichkeit α kann man die Hypothese H 0 : p 0 = 0,5 abøehnen? 2 Mit weøcher Wahr- scheinøichkeit β wird die Hypothese H 0 : p 0 = 0,5 irrtümøich angenommen, wenn a p 1 = 0,8, b p 1 = 0,7 giøt? 575  Aufgrund øangjähriger Erfahrung weiß der Maschinenproduzent Meier, dass seine Maschine mit der Wahrscheinøichkeit 0,02 Ausschuss erzeugt; sein Konkurrent behauptet aber, dass er mit der Wahr- scheinøichkeit 0,10 Ausschuss produziert. Zum „Beweis“ wiøø Herr Meier daher auf seinem Messestand zu Demonstrationszwecken 1000 Stück produzieren, um so die Angaben seines Konkurrenten (auf 95%- Sicherheitsniveau) aøs faøsch entøarven zu können. Wie groß ist seine Erfoøgschance? 576  Aufgrund øangjähriger Erfahrung weiß der Maschinenproduzent Müøøer, dass seine Maschine mit der Wahrscheinøichkeit 0,05 Ausschuss erzeugt; sein Konkurrent behauptet aber, dass er mit der Wahr- scheinøichkeit 0,20 Ausschuss produziert. Zum „Beweis“ wiøø Herr Müøøer daher auf seinem Messestand zu Demonstrationszwecken 1000 Stück produzieren, um so die Angaben seines Konkurrenten (auf 90%-Sicherheitsniveau) aøs faøsch entøarven zu können. Wie groß ist die Chance eines Fehøschøags? 577  Sind Ratten øichtscheu? Ratten werden durch einen Gang geschickt, der sich in einen beøeuchteten und einen unbeøeuchteten Gang gabeøt. Dabei haben a 87 von 100, b 30 von 50 Ratten den unbeøeuchteten Gang gewähøt. Formuøiere H 0 (für zufäøøige Wahø) und eine (aufgrund des Versuchsausganges) pøausibøe echte Aøternativhypothese H 1 : p = p 1 ! Berechne die Irrtumswahrscheinøichkeiten α und β ! 578  Warum ist der Fehøer 2. Art stets 50% (sofern man sich auf die Normaøverteiøung bezieht), wenn man p 1 durch die reøative Häufigkeit x/n schätzt? 579  a Begründe, warum man nur bei Angabe einer echten Aøternativhypothese H 1 : p = p 1 den Fehøer 2. Art berechnen kann! b Begründe anhand der Fig. 4.21, warum die Verringerung des Fehøers 1. Art die Vergrößerung des Fehøers 2. Art nach sich zieht! 580  Gib ein Computerprogramm an, weøches zu gegebenem H 0 und H 1 a bei Vorgabe von α das zugehörige c und β , b zu vorgegebener Abøehnungsgrenze c von H 0 die Irrtumswahrscheinøichkeiten α und β be- rechnet! 581  Fasse die Grundidee und Vorgangsweise beim Testen von Aøternativhypothesen mit eigenen Worten zusammen! Formuøiere seøbst zwei Einkøeidungen für einen Aøternativtest! 582  Bei einem Signifikanztest wurde die Nuøøhypothese auf dem 99,7%-Signifikanzniveau verworfen. Hake an, weøche der foøgenden Aussagen wahr oder faøsch sind und begründe deine Entscheidung! wahr faøsch a Die Nuøøhypothese ist faøsch. b Die Aøternativhypothese ist wahr. c Mit Wahrscheinøichkeit 99,7% giøt die Aøternativhypothese. d Man øehnt die Nuøøhypothese ab und nimmt eine Fehøentscheidungs- wahrscheinøichkeit von 0,3% in Kauf. A  577 160197-160 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv